Utilize o teste da razão ou o teste da raiz para estudar a convergência das séries abaixo:
sum n!n^3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty n!n^3
usando o teste da razão ou o teste da raiz. Aqui vamos optar pelo teste da razão, que lida bem com fatoriais.

Passo 2

O teste da razão diz que, para anneq0, se definirmos
L = limntoinfty |an+1an|,
então a série sum an converge absolutamente se L<1 e diverge se L>1.

Passo 3

No nosso caso temos
an = n!n^3
e portanto
an+1an = (n+1)!(n+1)^3n!n^3 = (n+1)!;n^3(n+1)^3;n! = (n+1),n^3(n+1)^3 = n^3(n+1)^2

Passo 4

Agora calculamos o limite
L = limntoinfty n^3(n+1)^2 = limntoinfty n^3n^2,l(1+tfrac1nr)^2 = limntoinfty nl(1+tfrac1nr)^2 = infty
Como L>1, o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn!n^3 diverge pelo teste da razão.

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