Esboce o gráfico das equações polares. Determine o menor intervalo de theta para produzir o gráfico completamente.
5 r cos (theta)=-10

Passo 1

O enunciado nos dá a equação polar
5,rcos(theta)=-10
e pede que esbocemos o gráfico e encontremos o menor intervalo de theta que gera a curva completa. Vamos usar a conversão para coordenadas cartesianas e analisar o sinal de r.

Passo 2

Isolando r em função de theta obtemos
r = -105cos(theta) = -2cos(theta),
com a condição cos(theta)neq 0.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas temos x = rcos(theta). Substituindo a equação original:
x = rcos(theta) = -2,
ou seja, trata-se da reta vertical x=-2.

Passo 4

Para traçar essa reta em coordenadas polares via r = -2/cos(theta), precisamos evitar cos(theta)=0 (pois daria rtoinfty) e escolher um intervalo de theta em que r seja continuamente positivo, para não inverter o sentido de “puxar” o ponto.

Passo 5

Quando thetainl(tfracpi2,tfrac3pi2r) temos cos(theta)<0, então
r = -2cos(theta)>0
varre toda a reta x=-2 exatamente uma vez, indo de rto+infty em thetatotfracpi2^+, passando por r=0 em theta=pi, até rto+infty em thetatotfrac3pi2^-.

Resposta

O gráfico é a reta vertical x=-2.
Um menor intervalo de theta que produz a curva completa é
thetainl(tfracpi2,tfrac3pi2r)

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