36^circ ) Determine a derivada direcional da função z=e^x cos y, no ponto (0,0) e na direção em que faz com o eixo dos x um ângulo de 60^circ.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x,y)=e^xcos y, queremos a derivada direcional em (0,0) na direção que forma um ângulo de 60^circ com o eixo x. Para isso vamos usar o conceito de derivada direcional via produto escalar do gradiente com o vetor unitário da direção desejada.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=e^xcos y. Pela definição,
partial fpartial x = e^xcos y,
e
partial fpartial y = -,e^xsin y

Passo 3

O gradiente é nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,,partial fpartial yr). Avaliando em (0,0), temos
nabla f(0,0) = l(e^0cos 0,,-e^0sin 0r) = (1,0)

Passo 4

O vetor unitário na direção que faz ângulo theta=60^circ com o eixo x é
u = (costheta,sintheta) = l(tfrac12,tfracraiz32r)

Passo 5

A derivada direcional de f em (0,0) na direção de u é dada por
Du f(0,0) = nabla f(0,0)cdot u = (1,0)cdotl(tfrac12,tfracraiz32r) = tfrac12

Resposta

A derivada direcional é tfrac12.

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