Utilize o teste da razão ou o teste da raiz para estudar a convergência das séries abaixo:
sum n^nn!

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série cujo termo geral é
an = n^nn!
O conteúdo a ser aplicado é o teste da razão, que diz: se
L = limntoinftyan+1an,
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 2

Vamos calcular o quociente entre termos consecutivos. Denotando an = n^nn!, temos
an+1an = (n+1)^,n+1(n+1)!n^nn! = (n+1)^,n+1(n+1),n^n = l(1+1nr)^n

Passo 3

Agora avaliamos o limite do quociente:
limntoinftyl(1+1nr)^n ;=; e
Como e>1, pelo teste da razão a série diverge.

Resposta

A série sum n^nn! diverge.

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