Utilize o teste da razão ou o teste da raiz para estudar a convergência das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
utilizando o teste da razão ou o teste da raiz. Aqui vamos aplicar o teste da razão, que é indicado quando os termos envolvem fatoriais, exponenciais ou potências.
Passo 2
Definimos o termo geral da série como
No teste da razão, calculamos
Substituindo an+1=n+15^n+1 e an=n5^n, vem
|an+1an| = n+15^n+1n5^n = n+15n = 1 + tfrac1n5
Passo 3
Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty1 + tfrac1n5 = 15
Como L = tfrac15 < 1, o teste da razão garante que a série sum anconverge absolutamente, e portanto converge.
Resposta
A série sumn=1^inftyn5^n converge (convergência absoluta pelo teste da razão, pois o quociente limite é tfrac15<1).