Determine d y / d x usando a definição.
y=1raizx-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = 1raizx - 1
usando a definição
dydx = limh to 0 f(x + h) - f(x)h
Aqui o conteúdo é derivada pela definição (quociente incremental) e vamos precisar manipular a expressão do quociente para conseguir o limite.

Passo 2

Escrevemos o quociente incremental:
f(x+h) - f(x)h = 1raiz(x+h)-1 ;-;1raizx-1h
Ou seja,
1h,l(1raizx+h-1 - 1raizx-1r)

Passo 3

Para simplificar, unimos as frações e racionalizamos o numerador. Primeiro colocamos sobre um denominador comum:
1h;raizx-1 - raizx+h-1raizx+h-1,raizx-1
Agora multiplicamos numerador e denominador pela conjugada raizx-1 + raizx+h-1:
1h; (raizx-1 - raizx+h-1)(raizx-1 + raizx+h-1) raizx+h-1,raizx-1,(raizx-1 + raizx+h-1) = 1h; (x-1) - (x+h-1) raizx+h-1,raizx-1,(raizx-1 + raizx+h-1)
Como (x-1)-(x+h-1)=-h, fica
1h; -h raizx+h-1,raizx-1,(raizx-1 + raizx+h-1) = -1 raizx+h-1,raizx-1,(raizx-1 + raizx+h-1)

Passo 4

Agora fazemos o limite hto0. Note que raizx+h-1toraizx-1, logo o denominador torna-se
raizx-1,raizx-1,(raizx-1 + raizx-1) = (x-1),2raizx-1 =2 (x-1)^3/2
Portanto
dydx = limhto0l(-1 raizx+h-1,raizx-1,(raizx-1 + raizx+h-1)r) = -12 (x-1)^3/2

Resposta

dydx = -12 (x-1)^3/2

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