Utilize o teste da razão ou o teste da raiz para estudar a convergência das séries abaixo:
sum (n!)^2(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty (n!)^2(2n)!
usando o teste da razão ou o teste da raiz. Vamos optar pelo teste da razão, pois aqui fica bem direto calcular a razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Defina
an = (n!)^2(2n)!
O teste da razão exige calcular
an+1an = ((n+1)!)^2(2n+2)!(n!)^2(2n)! = (n+1)^2,(n!)^2(2n+2)(2n+1),(2n)!,(2n)!(n!)^2 = (n+1)^2(2n+2)(2n+1)

Passo 3

Agora simplificamos essa expressão e obtemos o limite quando ntoinfty:
(n+1)^2(2n+2)(2n+1) = (n+1)2(2n+1) = n+14n+2,
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limntoinftyan+1an = limntoinftyn+14n+2 = 14

Passo 4

Pelo teste da razão, se
L = limntoinftyan+1an < 1,
então a série converge absolutamente. Aqui encontrámos L = tfrac14 < 1, portanto a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(n!)^2(2n)! converge absolutamente pelo teste da razão, pois o limite da razão é 1/4<1.

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