Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, ux y=uy x.
u=e^n y sen y

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, para a função u=e^n ysin y, as derivadas parciais mistas satisfazem uxy=uyx. O conteúdo é o Teorema de Clairaut (igualdade de derivadas parciais mistas) e vamos precisar calcular ux, uy e depois suas derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Como u não depende de x (só aparece y na expressão), temos imediatamente:
ux=0
Dessa forma, ao derivar em relação a y:
uxy=partialpartial y(ux)=partialpartial y(0)=0

Passo 3

Agora vamos a uy. Usamos a regra do produto e a cadeia em e^n y:
$$u_y=\frac{\partial}{\partial y}(e^{n y})\cdot\sin y+e^{n y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(\sin y)
=e^{n y},(n\sin y+\cos y).$$

Passo 4

Por fim, como uy também não depende de x, sua derivada em relação a x é
uyx=partialpartial x(uy)=0
Comparando, obtemos uxy=0 e uyx=0, logo são iguais, validando o Teorema de Clairaut.

Resposta

uxy=uyx=0

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