Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que, para a função
, as derivadas parciais mistas satisfazem
. O conteúdo é o Teorema de Clairaut (igualdade de derivadas parciais mistas) e vamos precisar calcular
,
e depois suas derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Como
não depende de
(só aparece
na expressão), temos imediatamente:
Dessa forma, ao derivar em relação a
:
Passo 3
Agora vamos a
. Usamos a regra do produto e a cadeia em
:
$$u_y=\frac{\partial}{\partial y}(e^{n y})\cdot\sin y+e^{n y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(\sin y)
=e^{n y},(n\sin y+\cos y).$$
Passo 4
Por fim, como
também não depende de
, sua derivada em relação a
é
Comparando, obtemos
e
, logo são iguais, validando o Teorema de Clairaut.