Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty a^n cdot n!n^n, com a>1

Passo 1

Então, a gente tem essa série infinita aqui:
sumn=1^infty a^n cdot n!n^n, onde a > 1
Vamos usar os testes de convergência para descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, precisamos entender um pouco sobre testes de convergência e como aplicá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos envolvendo fatoriais e potências. O teste da razão diz que se:
L = limn to infty | an+1an |
Então:
  • Se $ L < 1 $, a série converge.
  • Se $ L > 1 $, a série diverge.
  • Se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular esse limite $ L $ para a nossa série. Primeiro, identifiquemos $ a_n $ e $ a_{n+1} $:
L
an
Agora, montamos a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:

Passo 4

Simplificando a expressão:
an+1an = a cdot n^n(n+1)^n cdot 1n+1
Agora, podemos reescrever $ \frac{n{n}}{(n+1){n}} $ como $ \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n} $. Então:
n^n(n+1)^n
Quando $ n $ tende ao infinito, sabemos que:
( nn+1 )^n
E $ \frac{1}{n+1} $ tende a 0. Porém, multiplicando esses termos, o principal fator que decide o limite é $ a \cdot \frac{1}{e} $.

Passo 5

Portanto, o limite $ L $ fica:
L
Agora, aplicando o teste da razão:
  • Se $ a \cdot \frac{1}{e} < 1 $ ou seja, $ a < e $, a série converge.
  • Se $ a \cdot \frac{1}{e} > 1 $ ou seja, $ a > e $, a série diverge.
  • Se $ a = e $, o teste é inconclusivo.

Resposta

A série sumn=1^infty a^n cdot n!n^n converge se $ a < e $ e diverge se $ a > e $.

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