Os conjuntos abaixo são linearmente independentes (L.I.) ou linearmente dependentes (L.D.) no espaço vetorial V ? Justifique.
S=(1,1,2),(1,0,0),(4,6,12), V=R^3

Passo 1

O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto S = {(1,1,2), (1,0,0), (4,6,12)} é linearmente independente ou dependente em V = ℝ³. O tema aqui é independência linear e vamos usar a definição que diz que S é L.I. se a única solução de c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃ = 0 é a trivial.

Passo 2

Pela definição: S é linearmente dependente se existirem escalares c₁, c₂, c₃, não todos nulos, tais que c₁(1,1,2) + c₂(1,0,0) + c₃(4,6,12) = (0,0,0). Se acharmos uma combinação não trivial que zere, já concluímos dependência.
Em vez de montar todo o sistema, tentamos expressar v₃ = (4,6,12) como combinação de v₁ = (1,1,2) e v₂ = (1,0,0). Ou seja, buscamos a e b tais que a(1,1,2) + b(1,0,0) = (4,6,12).

Passo 3

Da segunda componente vem a = 6. Substituindo na primeira: a + b = 4 ⇒ 6 + b = 4 ⇒ b = -2. Na terceira: 2a = 12 ⇒ 2·6 = 12, confere. Logo existe solução não trivial.
Isso gera a relação
6(1,1,2) - 2(1,0,0) - 1(4,6,12) = (0,0,0),
o que mostra que S é linearmente dependente em ℝ³.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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