Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{0}^{1} \frac{7}{1+t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\int_{0}^{1} \frac{7}{1+t^{2}} \, dt
pela Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Precisamos encontrar uma antiderivada de \tfrac{1}{1+t^{2}}.

Passo 2

Sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl[\arctan(t)\bigr]=\frac{1}{1+t^{2}}.
Multiplicando por 7, uma antiderivada de \tfrac{7}{1+t^{2}} é
F(t)=7\,\arctan(t).

Passo 3

Pelo TFC,
\int_{0}^{1}\frac{7}{1+t^{2}}\,dt = F(1)-F(0).

Passo 4

Calculando F(1) e F(0):
F(1)=7\,\arctan(1)=7\cdot\frac{\pi}{4},\quad F(0)=7\,\arctan(0)=0.
Logo,
\int_{0}^{1}\frac{7}{1+t^{2}}\,dt = 7\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{7\pi}{4}

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