Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac12}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Precisamos encontrar uma primitiva de f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} e avaliá-la entre 0 e \tfrac12.

Passo 2

Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\arcsin(x)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Portanto, uma primitiva de f(x) é
F(x)=\arcsin(x).

Passo 3

Aplicando o TFC, temos
\int_{0}^{\frac12}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx =F\Bigl(\tfrac12\Bigr)-F(0) =\arcsin\Bigl(\tfrac12\Bigr)-\arcsin(0).

Passo 4

Como \arcsin(\tfrac12)=\frac{\pi}{6} e \arcsin(0)=0, segue que
\int_{0}^{\frac12}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx =\frac{\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}

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