Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{1}^{4} \frac{1+x}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4}\frac{1+x}{\sqrt{x}}\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Vamos precisar de dois ingredientes principais:
  1. Simplificar o integrando em potências de x.
  2. Encontrar uma primitiva (antiderivada) e aplicar o TFC, ou seja, avaliar essa primitiva nos limites de integração e tomar a diferença.

Passo 2

Escrevemos o integrando em potências de x. Como
\frac{1+x}{\sqrt{x}} =\frac{1}{x^{1/2}}+\frac{x}{x^{1/2}} =x^{-1/2}+x^{1/2},
temos
\int_{1}^{4}\frac{1+x}{\sqrt{x}}\,dx =\int_{1}^{4}\bigl(x^{-1/2}+x^{1/2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Determinamos uma primitiva F(x) de x^{-1/2}+x^{1/2}. Sabemos que
\int x^{-1/2}\,dx =2\,x^{1/2}, \qquad \int x^{1/2}\,dx =\frac{2}{3}\,x^{3/2}.
Logo, uma antiderivada é
F(x)=2\,\sqrt{x}+\frac{2}{3}\,x^{3/2}.

Passo 4

Pelo TFC,
\int_{1}^{4}\bigl(x^{-1/2}+x^{1/2}\bigr)\,dx =F(4)-F(1).
Calculando:
F(4) =2\cdot2+\frac{2}{3}\cdot(4)^{3/2} =4+\frac{2}{3}\cdot8 =4+\frac{16}{3} =\frac{12+16}{3} =\frac{28}{3},
F(1) =2\cdot1+\frac{2}{3}\cdot1^{3/2} =2+\frac{2}{3} =\frac{6+2}{3} =\frac{8}{3}.
Portanto,
\int_{1}^{4}\frac{1+x}{\sqrt{x}}\,dx =\frac{28}{3}-\frac{8}{3} =\frac{20}{3}.

Resposta

\frac{20}{3}

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