Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(\operatorname{sen} r+\operatorname{sen} 2 r) d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\bigl(\sin r + \sin 2r\bigr)\,dr.
Para isso, vamos encontrar uma antiderivada F(r) de \sin r + \sin 2r e depois avaliar F em r=\tfrac{\pi}{3} e em r=0.

Passo 2

Para achar a antiderivada de \sin r e de \sin 2r, lembramos que
\frac{d}{dr}\bigl(-\cos r\bigr)=\sin r \quad\text{e}\quad \frac{d}{dr}\bigl(-\tfrac12\cos 2r\bigr) =\tfrac12\cdot2\sin 2r =\sin 2r.
Logo, uma antiderivada comum é
F(r) = -\cos r \;-\;\tfrac12\cos 2r.

Passo 3

Agora avaliamos F nos limites:
F\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)\;-\;\tfrac12\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) =-\tfrac12\;-\;\tfrac12\bigl(-\tfrac12\bigr) =-\tfrac12+\tfrac14 =-\tfrac14,
F(0) =-\cos(0)\;-\;\tfrac12\cos(0) =-1\;-\;\tfrac12 =-\tfrac32.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\bigl(\sin r + \sin 2r\bigr)\,dr =F\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)-F(0) =-\tfrac14 -\bigl(-\tfrac32\bigr) =-\tfrac14 + \tfrac32 =\tfrac{5}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{4}

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