Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{1}^{2} \frac{3}{t^{4}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{2} \frac{3}{t^{4}}\,dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Vamos precisar encontrar uma primitiva (antiderivada) da função f(t)=3t^{-4} e depois avaliar essa primitiva nos limites t=1 e t=2.

Passo 2

Para achar a primitiva de f(t)=3t^{-4}, usamos a regra de potência para integrais:
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}\quad(\text{para }n\neq -1).
Aqui n=-4, então
\int t^{-4}\,dt = \frac{t^{-3}}{-3}.
Multiplicando pelo fator constante 3, obtemos
F(t)=\int 3t^{-4}\,dt =3\cdot\frac{t^{-3}}{-3} =-\,t^{-3}.

Passo 3

Pelo TFC,
\int_{1}^{2}\frac{3}{t^{4}}\,dt =F(2)-F(1).
Substituindo F(t)=-t^{-3}, temos
F(2)=-2^{-3}=-\frac{1}{8}, \quad F(1)=-1^{-3}=-1.
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\int_{1}^{2}\frac{3}{t^{4}}\,dt =-\frac{1}{8}-(-1) =-\frac{1}{8}+1 =\frac{7}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{8}

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