Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{0}^{4} \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{4} \sqrt{x}\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Aqui o conteúdo principal é a integração de funções potenciais, e vamos precisar:
  1. Reconhecer que \sqrt{x}=x^{\tfrac12}.
  2. Usar a regra geral de antiderivada \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  3. Aplicar o TFC, ou seja, avaliar a antiderivada nos limites de integração.

Passo 2

Reescrevemos o integrando como potência:
\sqrt{x}=x^{\tfrac12}.
Então buscamos uma função F(x) tal que
F'(x)=x^{\tfrac12}.
Pela regra de potências, se n=\tfrac12, temos
F(x)=\int x^{\tfrac12}\,dx =\frac{x^{\tfrac12+1}}{\tfrac12+1} =\frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32}.

Passo 3

Simplificamos o coeficiente em F(x):
\frac{1}{\tfrac32} =\frac{1}{\tfrac32}\times\frac{2}{2} =\frac{2}{3}.
Logo, uma antiderivada é
F(x)=\frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{4} x^{\tfrac12}\,dx =F(4)-F(0).
Calculamos cada termo:
F(4)=\frac{2}{3}\cdot4^{\tfrac32}, \quad F(0)=\frac{2}{3}\cdot0^{\tfrac32}=0.
Sabendo que 4^{\tfrac32}=(\sqrt{4})^3=2^3=8, obtemos
F(4)=\frac{2}{3}\cdot8=\frac{16}{3}.

Resposta

\int_{0}^{4}\sqrt{x}\,dx=\frac{16}{3}.

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