Utilize o TFC para calcular as seguintes integrais:
\int_{0}^{4}\left(1+3 y-y^{2}\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4}\bigl(1 + 3y - y^{2}\bigr)\,dy
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Vamos precisar achar uma primitiva F(y) de f(y)=1+3y-y^2 e depois avaliar F(4)-F(0).

Passo 2

Encontrar a antiderivada F(y) de f(y)=1+3y-y^2 integrando termo a termo:
\int 1\,dy = y,\quad \int 3y\,dy = \tfrac{3}{2}y^{2},\quad \int (-y^{2})\,dy = -\tfrac{1}{3}y^{3}.
Logo,
F(y) = y + \tfrac{3}{2}y^{2} - \tfrac{1}{3}y^{3}.

Passo 3

Aplicando o TFC, temos
\int_{0}^{4}\bigl(1+3y-y^{2}\bigr)\,dy = F(4) - F(0).
Calculemos:
F(4) = 4 + \tfrac{3}{2}\cdot 4^{2} - \tfrac{1}{3}\cdot 4^{3} = 4 + \tfrac{3}{2}\cdot16 - \tfrac{1}{3}\cdot64 = 4 + 24 - \tfrac{64}{3} = 28 - \tfrac{64}{3} = \tfrac{84 - 64}{3} = \tfrac{20}{3},
e
F(0) = 0 + 0 - 0 = 0.

Resposta

\int_{0}^{4}\bigl(1 + 3y - y^{2}\bigr)\,dy = \tfrac{20}{3}.

Exercícios relacionados