Utilize transformada de Laplace para determinar a solução dos PVIs :
,
.
Passo 1
Vamos resolver o problema usando a Transformada de Laplace. Temos a equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que seja mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Então, aplicando a transformada na equação:
Passo 3
Substituímos as transformadas encontradas:
Simplificando os termos:
Passo 4
Isolamos $ Y(s) $:
Passo 5
Agora, vamos decompor em frações parciais:
Para $ \frac{1}{s(s^2 + 3)} $, sabemos que:
Resolvendos os coeficientes, encontramos $ A = \frac{1}{3} $, $ B = 0 $, e $ C = \frac{1}{3} $. Portanto:
Passo 6
Substituindo de volta em $ Y(s) $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, fazemos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $:
Sabemos que:
E usando o teorema da variação de parâmetros para o termo com $ e^{-3s} $:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é: