Utilize transformada de Laplace para determinar a solução dos PVIs :
y^prime prime+3 y=1-2 U(t-3), y(0)=y^prime(0)=1.

Passo 1

Vamos resolver o problema usando a Transformada de Laplace. Temos a equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 3y = 1 - 2 U(t - 3)
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica que seja mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly = Y(s)
L1 = 1s
LU(t - a) = e^-a ss
Então, aplicando a transformada na equação:
Ly'' + 3Ly = L1 - 2LU(t - 3)

Passo 3

Substituímos as transformadas encontradas:
s^2 Y(s) - s cdot 1 - 1 + 3Y(s) = 1s - 2 cdot e^-3ss
Simplificando os termos:
(s^2 + 3)Y(s) - s - 1 = 1s - 2 e^-3ss

Passo 4

Isolamos $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 5

Agora, vamos decompor em frações parciais:
Para $ \frac{1}{s(s^2 + 3)} $, sabemos que:
1s(s^2 + 3)
Resolvendos os coeficientes, encontramos $ A = \frac{1}{3} $, $ B = 0 $, e $ C = \frac{1}{3} $. Portanto:
1s(s^2 + 3) = As + Bs + Cs^2 + 3

Passo 6

Substituindo de volta em $ Y(s) $:
Y(s)
Simplificando:
Y(s) = s + 1s^2 + 3 + 13s + 13(s^2 + 3) - 2 e^-3ss(s^2 + 3)
Y(s) = s + 1 + 13s^2 + 3 + 13s - 2 e^-3ss(s^2 + 3)

Passo 7

Agora, fazemos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $:
y(t)
Sabemos que:
y(t) = L^-1s + 43s^2 + 3 + 13 L^-11s - 2 L^-1e^-3ss(s^2 + 3)
L^-1ss^2 + 3 = cos(raiz3 t)
L^-11s^2 + 3 = 1raiz3 sin(raiz3 t)
E usando o teorema da variação de parâmetros para o termo com $ e^{-3s} $:
L^-11s = 1

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:
y(t) = cos(raiz3 t) + 43raiz3 sin(raiz3 t) + 13 - 23 U(t - 3) sin(raiz3(t - 3))

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