Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime+5 y=0 ; y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(t) + 5,y(t) = 0
com a condição inicial deslocada y(1)=0. Vamos usar as propriedades da transformada de Laplace, a solução geral da EDO e depois impor y(1)=0.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'(t) + 5,y(t) = 0
Como Ly'(t)(s)=s,Y(s)-y(0) e Ly(t)(s)=Y(s), obtemos
s,Y(s) - y(0) + 5,Y(s) = 0

Passo 3

Agrupando Y(s), ficamos com
(s + 5),Y(s) = y(0),
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Y(s) = y(0)s+5

Passo 4

Invertendo a transformada de Laplace, reconhecemos que
L^-1!l1s+5r(t)=e^-5t
Portanto a solução geral é
y(t) = y(0),e^-5t

Passo 5

Para determinar y(0) usamos a condição inicial em t=1:
y(1)=y(0),e^-5cdot1=0
Como e^-5neq0, segue que
y(0)=0

Passo 6

Substituindo y(0)=0 na solução geral, concluímos que
y(t)=0para todo t>=0

Resposta

y(t)=0

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