Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida em partes:
f(x) = -4, & x< -2, -,x + 2, & -2 <= x < 2, 2,x, & x >= 2
Precisamos determinar o domínio, a imagem e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos analisar cada ramo separadamente.
Passo 2
O domínio é o conjunto de todos os x para os quais f está definida. Como os três trechos cobrem todos os reais sem lacuna, concluímos
Dom(f)=R
Passo 3
Para encontrar a imagem, examinamos cada ramo:
– Para x< -2, f(x)=-4. Esse trecho gera o único valor -4.
– Para -2<= x<2, f(x)=-x+2 é reta de inclinação -1. Em x=-2 vale
f(-2)= -(-2)+2=4,
e conforme xto2^-,
f(x)to -2+2=0,
sem incluir 0. Logo neste trecho a imagem é (0,4].
– Para x>=2, f(x)=2x é reta de inclinação 2. Em x=2 vale
f(2)=4
e cresce sem limite, gerando [4,infty).
Unindo todos os valores obtidos,
Esboço do gráfico:
– Traçar linha horizontal em y=-4 para x< -2, com círculo aberto em (-2,-4).
– Colocar ponto sólido em (-2,4).
– Desenhar reta decrescente (inclinação -1) de (-2,4) aproximando-se de (2,0), com círculo aberto em (2,0).
– Colocar ponto sólido em (2,4).
– A partir de (2,4), desenhar reta crescente (inclinação 2) para x>=2.
Resposta
Domínio: R.
Imagem: -4cup(0,infty).
Gráfico: conforme o esboço descrito no passo 4.