Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime-y=e^x ; y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear inhomogênea
y'' - y = e^x,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e a transformada de e^x, além de frações parciais e transformada inversa.

Passo 2

Aplicando Lcdot em ambos os lados:
Ly'' - Ly = Le^x ;Longrightarrow; l(s^2Y(s)-scdot1-0r) - Y(s) = 1s-1
Isso dá
(s^2-1),Y(s) = s + 1s-1 Longrightarrow Y(s) = s^2 - s + 1(s-1)^2,(s+1)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
s^2 - s + 1(s-1)^2(s+1) = As+1 + Bs-1 + C(s-1)^2
Multiplicando por (s-1)^2(s+1) e igualando coeficientes obtém-se o sistema
A + B = 1, -2A + C = -1, A - B + C = 1,
cuja solução é
A=tfrac34, B=tfrac14, C=tfrac12

Passo 4

Agora invertemos termo a termo:
Y(s)=3/4s+1 + 1/4s-1 + 1/2(s-1)^2 ;Longrightarrow; y(x)=34e^-x + 14e^x + 12,x,e^x

Resposta

y(x) = 34e^-x + 14e^x + 12,x,e^x

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