Calcule os limites laterais e analise continuidade (nível: médio a difícil)
lim x -2^+ x^2-3 x-4x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites laterais de
f(x)=x^2-3x-4x+2
quando xto -2 (pela direita e pela esquerda) e, a partir disso, analisar a continuidade em x=-2. Vamos usar fatoração para simplificar a expressão e depois fazer análise de sinais para cada lado.

Passo 2

Fatoramos o numerador:
x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)
Logo
f(x)=(x-4)(x+1)x+2

Passo 3

Para limxto -2^+f(x), aproximamos x de -2 vindo da direita. Então:
  • O numerador tende a (-2-4),(-2+1)=(-6)cdot(-1)=6>0.
  • O denominador tende a (-2+2) por valores ligeiramente maiores que -2, ou seja, 0^+.
Portanto
limxto -2^+(x-4)(x+1)x+2=+infty

Passo 4

Para limxto -2^-f(x), aproximamos x de -2 vindo da esquerda. O numerador continua tendendo a 6>0, mas agora o denominador tende a 0^-. Logo
limxto -2^-(x-4)(x+1)x+2=-infty

Passo 5

Como as duas limites laterais são infinitos (e não coincidem), a função não está definida em x=-2 e exibe uma assíntota vertical ali. Logo há uma descontinuidade infinita (ou essencial) em x=-2.

Resposta

limxto -2^+x^2-3x-4x+2=+infty
limxto -2^-x^2-3x-4x+2=-infty
A função não é contínua em x=-2; há uma descontinuidade infinita (assíntota vertical).

Exercícios relacionados