Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime+2 y=2 ; y(0)=1

Passo 1

Temos a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(t) + 2,y(t) = 2
com condição inicial y(0)=1. Vamos usar transformada de Laplace para converter essa EDO numa equação algébrica em Y(s)=Ly(t). Para isso precisamos das propriedades
Ly'=sY(s)-y(0), Ly=Y(s) e L2=2/s.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos
l(sY(s)-y(0)r) + 2,Y(s) = 2s
Substituindo y(0)=1, fica
sY(s)-1 + 2Y(s)=2s

Passo 3

Agrupando Y(s), temos
Y(s),(s+2)=1+2s,
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Y(s)=1s+2 + 2s,(s+2)

Passo 4

Fazendo frações parciais em 2s(s+2):
2s(s+2)=1s-1s+2,
então
Y(s)=1s+2+l(1s-1s+2r)=1s
Invertendo a transformada de Laplace, vem
y(t)=L^-1l1sr=1

Resposta

y(t)=1

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