Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime+2 y=0 ; y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t)+2,y(t)=0, y(1)=1
usando transformadas de Laplace. Entretanto, a transformada de Laplace padrão exige condição em t=0. Para contornar isso, vamos “deslocar” o tempo e definir
z(t)=y(t+1)
Dessa forma teremos condição inicial em t=0.

Passo 2

Vamos expressar a EDO e a condição inicial em termos de z. Como
z'(t)=ddty(t+1)=y'(t+1),
substituindo na equação original com tmapsto t+1 obtemos
z'(t)+2,z(t)=0,
e a condição inicial fica
z(0)=y(1)=1

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em
z'(t)+2,z(t)=0
e usando Lz'(t)=s,Z(s)-z(0), obtemos
l(s,Z(s)-1r)+2,Z(s)=0 Longrightarrow (s+2),Z(s)=1 Longrightarrow Z(s)=1s+2

Passo 4

Invertendo a transformada de Laplace, como L^-11/(s+2)=e^-2t, achamos
z(t)=e^-2t

Passo 5

Retornando à função original, lembramos que z(t)=y(t+1). Logo, para cada t,
y(t)=z(t-1)=e^-2,(t-1)=e^2-2t

Resposta

y(t)=e^2-2t

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