(2 pts) Em um levantamento topográfico utilizando estação total, foram coletadas 100 leituras da distância horizontal entre dois pontos. A média observada foi de 152,4 \mathrm{~m}, com desvio-padrão populacional conhecido de 3,2 \mathrm{~m}. Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a distância média real entre os pontos.
() I C(\mu, 95 \%)=[151,8 ; 153,0]
() I C(\mu, 95 \%)=[152,0 ; 152,8]
() I C(\mu, 95 \%)=[150,0 ; 154,8]
() I C(\mu, 95 \%)=[151,0 ; 153,8]

Passo 1

O enunciado pede para construir um intervalo de confiança de 95\% para a distância média real entre dois pontos. Dados relevantes fornecidos:

\quad n = 100 (tamanho da amostra)

\quad \bar{x} = 152,4\\ \mathrm{m} (média observada)

\quad \sigma = 3,2\\ \mathrm{m} (desvio-padrão populacional conhecido)

\quad nível de confiança =95\%

Passo 2

Quando o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média tem a forma
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:

\quad \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=152,4).

\quad z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área \alpha/2 em cada cauda (para nível de confiança 1-\alpha).

\quad \sigma é o desvio-padrão populacional (aqui \sigma=3,2).

\quad n é o tamanho da amostra (aqui n=100).

Usamos a normal padrão ( z) porque \sigma é conhecido; para \sigma desconhecido usaríamos t.

Passo 3

Para nível de confiança 95\% temos \alpha = 0,05 e \alpha/2 = 0,025. O quantil correspondente é
z_{0,025} = 1,96,
ou seja, 1,96 é o valor tal que a área à direita é 0,025 (e à esquerda 0,975) na normal padrão.

Passo 4

Calculemos o erro padrão da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3,2}{\sqrt{100}} = \frac{3,2}{10} = 0,32.
Aqui usei \sqrt{100}=10.

Passo 5

Calculemos a margem de erro (metade da largura do intervalo):
E = z_{0,025}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \times 0,32 = 0,6272.
Podemos arredondar E para 0,63 se quisermos uma apresentação com duas casas decimais, mas usarei 0,6272 nos cálculos e arredondarei o resultado final conforme as opções.

Passo 6

Agora os limites do intervalo:
\text{limite inferior} = \bar{x} - E = 152,4 - 0,6272 = 151,7728 \approx 151,8,
\text{limite superior} = \bar{x} + E = 152,4 + 0,6272 = 153,0272 \approx 153,0.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% é
[151,8\\ ;\\\ 153,0].

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, o intervalo calculado coincide com a primeira opção.

Resposta

[151,8 ; 153,0]

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