(2 pts) Em um levantamento topográfico utilizando estação total, foram coletadas 100 leituras da distância horizontal entre dois pontos. A média observada foi de
, com desvio-padrão populacional conhecido de
. Construa um intervalo de confiança de
para a distância média real entre os pontos.
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Passo 1
O enunciado pede para construir um intervalo de confiança de
para a distância média real entre dois pontos. Dados relevantes fornecidos:
(tamanho da amostra)
(média observada)
(desvio-padrão populacional conhecido)
nível de confiança
Passo 2
Quando o desvio-padrão populacional
é conhecido, o intervalo de confiança para a média tem a forma
Explicando cada símbolo:
é a média amostral (aqui
).
é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área
em cada cauda (para nível de confiança
).
é o desvio-padrão populacional (aqui
).
é o tamanho da amostra (aqui
).
Usamos a normal padrão ( ) porque
é conhecido; para
desconhecido usaríamos
.
Usamos a normal padrão (
Passo 3
Para nível de confiança
temos
e
. O quantil correspondente é
ou seja,
é o valor tal que a área à direita é
(e à esquerda
) na normal padrão.
Passo 4
Calculemos o erro padrão da média:
Aqui usei
.
Passo 5
Calculemos a margem de erro (metade da largura do intervalo):
Podemos arredondar
para
se quisermos uma apresentação com duas casas decimais, mas usarei
nos cálculos e arredondarei o resultado final conforme as opções.
Passo 6
Agora os limites do intervalo:
Portanto o intervalo de confiança de
é
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas, o intervalo calculado coincide com a primeira opção.