V- Uma bateria possui uma força eletromotriz de 12 V e uma resistência interna de 0,05 \Omega. Ela está conectada a um resistor externo de 3 \Omega.
(a) Encontre a corrente no circuito e a tensão no terminal da bateria.
(b) Determine a potência fornecida ao resistor externo, ao resistor interno e à bateria.

Passo 1

O enunciado nos dá uma bateria com força eletromotriz e resistência interna, ligada a um resistor externo. Perguntas:
  • Dados fornecidos:
    \mathcal{E}=12\\ \mathrm{V} (força eletromotriz da bateria), r=0{,}05\\ \Omega (resistência interna da bateria) e R=3\\ \Omega (resistor externo).
  • O que é pedido:
    (a) Encontrar a corrente no circuito I e a tensão nos terminais da bateria V_{\text{term}}.
    (b) Determinar as potências: fornecida ao resistor externo P_{R}, ao resistor interno P_{r} e pela bateria P_{\text{bat}}.

Passo 2

Entendimento físico e fórmulas básicas (sem resolver ainda).
  • Em um circuito simples com bateria (fem \mathcal{E}) e resistências série r (interna) e R (externa), a corrente é a mesma em todos os elementos (porque estão em série). A soma das quedas de tensão é igual à fem (Lei das Malhas / 1ª Lei de Kirchhoff):
\mathcal{E}=I(R+r).
  • Da equação acima isolamos a corrente:
I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}.
Aqui:
\mathcal{E} é a força eletromotriz em volts, R e r são resistências em ohms e I é a corrente em ampères.
  • A tensão nos terminais da bateria V_{\text{term}} é a diferença de potencial medida entre os terminais quando há corrente; corresponde à fem menos a queda na resistência interna:
V_{\text{term}}=\mathcal{E}-I\,r.
Também é a tensão no resistor externo, portanto V_{\text{term}}=I\,R (cheque útil).
  • Para potências:
    potência instantânea geral é P=V\cdot I. Para um resistor com resistência R_x e corrente I, usamos a forma prática
P = I^{2}R_{x}.
No nosso caso:
potência dissipada no resistor externo: P_{R}=I^{2}R,
potência dissipada na resistência interna: P_{r}=I^{2}r,
potência fornecida pela bateria (potência elétrica que a fonte entrega ao circuito) pode ser calculada por P_{\text{bat}}=\mathcal{E}\,I.

Passo 3

Calcular a corrente usando os valores numéricos.
I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}=\frac{12}{3+0{,}05}=\frac{12}{3{,}05}.
Para simplificar a conta sem calculadora: multiplicamos numerador e denominador por 100:
I=\frac{12\cdot100}{3{,}05\cdot100}=\frac{1200}{305}=\frac{240}{61}.
Portanto a forma exata é I=\dfrac{240}{61}\\ \mathrm{A}. Em decimal:
I\approx 3{,}934\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Calcular a tensão nos terminais da bateria V_{\text{term}}.
Usamos V_{\text{term}}=I\,R (tensão no resistor externo é a mesma nos terminais):
V_{\text{term}}=I\,R=\frac{240}{61}\cdot 3=\frac{720}{61}\\ \mathrm{V}.
Em decimal:
V_{\text{term}}\approx 11{,}803\\ \mathrm{V}.
(Verificação alternativa: V_{\text{term}}=\mathcal{E}-I r=12-\dfrac{240}{61}\cdot0{,}05, que dá o mesmo resultado numérico.)

Passo 5

Explicar e preparar o cálculo das potências; lembrar as fórmulas e o que cada símbolo significa.
  • Lembrando:
    \mathcal{E} é a fem da bateria (V), I é a corrente (A), R e r são resistências (Ω).
  • Fórmulas que usaremos: P_{R}=I^{2}R,\qquad P_{r}=I^{2}r,\qquad P_{\text{bat}}=\mathcal{E}I.
  • Calcularemos I^{2} a partir de I=\dfrac{240}{61} para manter exatidão nas contas.

Passo 6

Calcular I^{2} e então P_{R}.
I^{2}=\left(\frac{240}{61}\right)^{2}=\frac{57600}{3721}.
Então
P_{R}=I^{2}R= \frac{57600}{3721}\cdot 3=\frac{172800}{3721}\\ \mathrm{W}.
Em decimal:
P_{R}\approx 46{,}439\\ \mathrm{W}.
Isso é a potência dissipada (transformada em calor) no resistor externo.

Passo 7

Calcular P_{r} (potência na resistência interna).
P_{r}=I^{2}r=\frac{57600}{3721}\cdot 0{,}05=\frac{2880}{3721}\\ \mathrm{W}.
Em decimal:
P_{r}\approx 0{,}774\\ \mathrm{W}.
Essa potência é perdida internamente na bateria (aquecimento interno).

Passo 8

Calcular a potência fornecida pela bateria P_{\text{bat}} e verificar conservação de energia.
P_{\text{bat}}=\mathcal{E}I=12\cdot\frac{240}{61}=\frac{2880}{61}\\ \mathrm{W}.
Em decimal:
P_{\text{bat}}\approx 47{,}213\\ \mathrm{W}.
Verificação: a potência fornecida pela bateria deve ser igual à soma das potências dissipada nas resistências:
P_{\text{bat}}=P_{R}+P_{r},
e, usando as frações, temos exatamente igualdade (é só somar numeradores sobre 3721 ou transformar para mesma base), portanto a checagem confere.

Passo 9

Resumo dos resultados com unidades e observação sobre arredondamento.
  • Usei formas exatas em fração (útil em prova sem calculadora) e apresentei aproximações decimais com três casas relevantes.
  • As pequenas diferenças numéricas entre somas e valores diretos são somente por arredondamento; as igualdades exatas foram mantidas nas frações.

Resposta

(a) I=\dfrac{240}{61}\\ \mathrm{A}\approx 3{,}934\\ \mathrm{A},\quad V_{\text{term}}=\dfrac{720}{61}\\ \mathrm{V}\approx 11{,}803\\ \mathrm{V}.
(b) P_{R}=\dfrac{172800}{3721}\\ \mathrm{W}\approx 46{,}439\\ \mathrm{W},\quad P_{r}=\dfrac{2880}{3721}\\ \mathrm{W}\approx 0{,}774\\ \mathrm{W},\quad P_{\text{bat}}=\dfrac{2880}{61}\\ \mathrm{W}\approx 47{,}213\\ \mathrm{W}.

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