Uma v.a. contínua possui fdp dada por
a) Determine a constante
a
b) Encontre
F(x)
c) Obtenha
P(1 / 2 <= X <= 3 / 2)
d) Quais são os valores da esperança e da variância de
X ?
b) Encontre
c) Obtenha
d) Quais são os valores da esperança e da variância de
Passo 1
O enunciado nos dá uma v.a. contínua
e pede:
(a) a constante de normalização ,
(c) a probabilidade ,
(d) os valores de e
.
Para isso vamos usar integrais para normalização e cálculo de momentos, e a definição de CDF por integração da fdp.
(a) a constante de normalização ,
(c) a probabilidade
(d) os valores de
Para isso vamos usar integrais para normalização e cálculo de momentos, e a definição de CDF por integração da fdp.
Passo 2
Para achar
a usamos
Calculando cada parte:
integral0^1a,x,dx=a2,
integral1^2a,dx=a,
integral2^3(-a,x+3a),dx =-a2(3^2-2^2)+3a(3-2)=a2
Somando dátfraca2+a+tfraca2=2a , logo
Somando dá
Passo 3
A CDF é
;F(x)=integral-infty^xf(t),dt ,
logo em cada região:
logo em cada região:
Para
x<=0 :
Para
0<x<=1 :
Para
1<x<=2 :
Para
2<x<=3 :
Para
x>3 :
Passo 4
Calculamos
Como
tfrac12<=1 ,
F(tfrac12)=tfrac(tfrac12)^24=tfrac116 .
Como1<tfrac32<=2 ,
F(tfrac32)=tfractfrac322-tfrac14=tfrac34-tfrac14=tfrac12 .
Logo
Como
Logo
Passo 5
Para a esperança e a variância usamos
E[X]=integral x,f(x),dx e
E[X^2]=integral x^2,f(x),dx , depois
Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 .
-
integral0^1xcdot12x,dx =integral0^1x^22,dx =16 -
integral1^2xcdot12,dx =12integral1^2x,dx =34 -
integral2^3xcdot12(3-x),dx =712
Somando dá
Para
E[X^2] :
-
integral0^1x^2cdot12x,dx =integral0^1x^32,dx =18 -
integral1^2x^2cdot12,dx =12cdot73 =76 -
integral2^3x^2cdot12(3-x),dx =118
Logo
Assim
Resposta
(a)
(c) ]