Uma v.a. contínua possui fdp dada por
f(x)= a x, & 0<x <= 1 a, & 1<x <= 2 -a x+3 a, & 2<x <= 3 0, & x <= 0 ou x>3
a) Determine a constante a
b) Encontre F(x)
c) Obtenha P(1 / 2 <= X <= 3 / 2)
d) Quais são os valores da esperança e da variância de X ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma v.a. contínua
e pede:
(a) a constante de normalização ,
(c) a probabilidade ,
(d) os valores de e .
Para isso vamos usar integrais para normalização e cálculo de momentos, e a definição de CDF por integração da fdp.

Passo 2

Para achar a usamos
integral-infty^inftyf(x),dx =integral0^1a,x,dx+integral1^2a,dx+integral2^3(-a,x+3a),dx =1
Calculando cada parte:
integral0^1a,x,dx=a2,
integral1^2a,dx=a,
integral2^3(-a,x+3a),dx =-a2(3^2-2^2)+3a(3-2)=a2
Somando dá tfraca2+a+tfraca2=2a, logo
2a=1 Longrightarrow a=12

Passo 3

A CDF é
;F(x)=integral-infty^xf(t),dt,
logo em cada região:
Para x<=0:
F(x)=0
Para 0<x<=1:
F(x) =integral0^x12,t,dt =12cdotx^22 =x^24
Para 1<x<=2:
F(x) =integral0^112,t,dt +integral1^x12,dt =14 +12(x-1) =x2-14
Para 2<x<=3:
F(x) =integral0^112,t,dt +integral1^212,dt +integral2^x12,(3-t),dt =-x^24+3x2-54
Para x>3:
F(x)=1

Passo 4

Calculamos
Pl(tfrac12<= X<=tfrac32r) =Fl(tfrac32r)-Fl(tfrac12r)
Como tfrac12<=1, F(tfrac12)=tfrac(tfrac12)^24=tfrac116.
Como 1<tfrac32<=2, F(tfrac32)=tfractfrac322-tfrac14=tfrac34-tfrac14=tfrac12.
Logo
Pl(tfrac12<= X<=tfrac32r) =12-116 =8-116 =716

Passo 5

Para a esperança e a variância usamos
E[X]=integral x,f(x),dx e
E[X^2]=integral x^2,f(x),dx, depois Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2.
  1. integral0^1xcdot12x,dx =integral0^1x^22,dx =16
  2. integral1^2xcdot12,dx =12integral1^2x,dx =34
  3. integral2^3xcdot12(3-x),dx =712
Somando dá
E[X] =16+34+712 =1812 =32
Para E[X^2]:
  1. integral0^1x^2cdot12x,dx =integral0^1x^32,dx =18
  2. integral1^2x^2cdot12,dx =12cdot73 =76
  3. integral2^3x^2cdot12(3-x),dx =118
Logo
E[X^2] =18+76+118 =6424 =83
Assim
Var(X) =83-l(32r)^2 =83-94 =512

Resposta

(a)
(c) ]

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