Uma urna possui 10 bolas brancas e 8 bolas pretas. Seja
o número de bolas brancas e
o número de bolas pretas. Uma bola é sorteada ao acaso e retirada três vezes, sem reposição. Obtenha a distribuição conjunta, a covariância e o coeficiente de correlação.
Passo 1
O enunciado descreve um experimento de retirar
bolas sem reposição de uma urna com
bolas brancas e
bolas pretas. Definimos as variáveis aleatórias
número de bolas brancas retiradas,
número de bolas pretas retiradas.
O objetivo é obter
O objetivo é obter
- a distribuição conjunta
, - a covariância
, - o coeficiente de correlação
.
Como não há reposição, a distribuição deé hipergeométrica, e ainda vale .
Passo 2
Para obter a distribuição conjunta usamos contagem de combinações: escolher
brancas e
pretas de um total de
bolas, de modo que
. O número de maneiras de escolher
brancas de 10 e
pretas de 8 é
, e o total de maneiras de escolher 3 bolas de 18 é
. Logo, para
com
,
e
caso
.
Passo 3
Agora calculamos as esperanças. Pela propriedade da distribuição hipergeométrica sem reposição,
Além disso, como
, temos
, que coincide com
.
Passo 4
A variância de
na hipergeométrica é
Por simetria (trocando “brancas” por “pretas”)
.
Passo 5
Para a covariância usamos
:
O coeficiente de correlação é
o que faz sentido pois
é constante.
Resposta
Distribuição conjunta:
Covariância:
Coeficiente de correlação: