Uma urna possui 10 bolas brancas e 8 bolas pretas. Seja X o número de bolas brancas e Y o número de bolas pretas. Uma bola é sorteada ao acaso e retirada três vezes, sem reposição. Obtenha a distribuição conjunta, a covariância e o coeficiente de correlação.

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de retirar n=3 bolas sem reposição de uma urna com 10 bolas brancas e 8 bolas pretas. Definimos as variáveis aleatórias
X= número de bolas brancas retiradas,
Y= número de bolas pretas retiradas.
O objetivo é obter
  1. a distribuição conjunta P(X=x,Y=y),
  2. a covariância Cov(X,Y),
  3. o coeficiente de correlação rhoX,Y.
    Como não há reposição, a distribuição de (X,Y) é hipergeométrica, e ainda vale X+Y=3.

Passo 2

Para obter a distribuição conjunta usamos contagem de combinações: escolher x brancas e y pretas de um total de 3 bolas, de modo que x+y=3. O número de maneiras de escolher x brancas de 10 e y pretas de 8 é binom10xbinom8y, e o total de maneiras de escolher 3 bolas de 18 é binom183. Logo, para x,yin0,1,2,3 com x+y=3,
P(X=x,Y=y) =binom10x,binom8ybinom183,
e P(X=x,Y=y)=0 caso x+yneq3.

Passo 3

Agora calculamos as esperanças. Pela propriedade da distribuição hipergeométrica sem reposição,
E[X]=n1018=3cdot1018=53, E[Y]=n818=3cdot818=43
Além disso, como Y=3-X, temos E[Y]=3-E[X], que coincide com tfrac43.

Passo 4

A variância de X na hipergeométrica é
Var(X) =n1018l(1-1018r)18-318-1 =3cdot1018cdot818cdot1517 =100153
Por simetria (trocando “brancas” por “pretas”) Var(Y)=100153.

Passo 5

Para a covariância usamos Y=3-X:
Cov(X,Y) =Cov(X,3-X) =3,Cov(X,1)-Cov(X,X) =-Var(X) =-100153
O coeficiente de correlação é
rhoX,Y =Cov(X,Y)raizVar(X),Var(Y) =-100153raiz100153cdot100153 =-1,
o que faz sentido pois X+Y é constante.

Resposta

Distribuição conjunta:
P(X=x,Y=y) = dfracbinom10x,binom8ybinom183,&x+y=3, 0,&caso contrário á
Covariância:
Cov(X,Y)=-100153
Coeficiente de correlação:
rhoX,Y=-1

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