Uma v.a. contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade
\begin{gathered} f(x)=0 \text { para } x<0 ; \\\ f(x)=\frac{x}{2} \text { para } 0 \leq x \leq 2 ; \\\ f(x)=0 \quad \text { para } x>2 \end{gathered}
Determine a média, a variância e o desvio padrão

Passo 1

O enunciado dá uma v.a. contínua com densidade
f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ \dfrac{x}{2}, & 0\le x\le2,\\\\ 0, & x>2, \end{cases}
e pede a média \mu=E[X], a variância \operatorname{Var}(X) e o desvio padrão \sigma. Vamos usar as definições
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx,\quad E[X^2]=\int_{-\infty}^{\infty}x^2\,f(x)\,dx,\quad \operatorname{Var}(X)=E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2,\quad \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}.

Passo 2

Calcular E[X] usando que f(x)=0 fora de [0,2]:
E[X] =\int_{0}^{2}x\cdot\frac{x}{2}\,dx =\int_{0}^{2}\frac{x^2}{2}\,dx =\left[\frac{x^3}{6}\right]_{0}^{2} =\frac{8}{6} =\frac{4}{3}.

Passo 3

Calcular E[X^2]:
E[X^2] =\int_{0}^{2}x^2\cdot\frac{x}{2}\,dx =\int_{0}^{2}\frac{x^3}{2}\,dx =\left[\frac{x^4}{8}\right]_{0}^{2} =\frac{16}{8} =2.

Passo 4

Usar a definição de variância e desvio padrão:
\operatorname{Var}(X) =E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2 =2-\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)^2 =2-\frac{16}{9} =\frac{2}{9},
\sigma =\sqrt{\operatorname{Var}(X)} =\sqrt{\frac{2}{9}} =\frac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

A média é \frac{4}{3}.
A variância é \frac{2}{9}.
O desvio padrão é \frac{\sqrt{2}}{3}.

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