Um engenheiro defende uma metodologia de prevenção de acidentes de trabalho na indústria frigorífica em que, basicamente, duas novas medidas de prevenção reduzem os riscos de acidentes em 0,80 e 0,90 . Considere que as medidas de prevenção sejam independentes.
(a) Qual é o risco de acidentes para uma linha de produção que adote essas duas novas medidas de segurança no trabalho?
(b) Determine a função de probabilidade da redução dos riscos de acidentes com as duas novas medidas de prevenção.
A = primeira nova medida de prevenção
reduz o risco de acidentes em 0,80
P(A)=0,8
B= segunda nova medida de prevenção
reduz o risco de acidentes em 0,90
P(B)=0,9
Resultados Probabilidades
(A, B) (0,8 \cdot 0,9) \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=0,72
\left(A, B^{c}\right)\left(A^{c}, B\right) (0,8 \cdot 0,1)+(0,2 \cdot 0,9) \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=0,26
\left(A^{c}, B^{c}\right) (0,2 \cdot 0,1) \mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=0,02
Com isso tem-se que o risco de acidentes para uma linha de produção que adote essas duas novas medidas de segurança no trabalho é (A c, B c) \rightarrow P(X=0)=0,02
Resp.; a) 0,02
b) \mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=0,02 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=0,26 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=0,72

Passo 1

O enunciado traz duas medidas de prevenção independentes cujas probabilidades de reduzir o risco de acidentes são \,P(A)=0,8 e \,P(B)=0,9. Vamos modelar cada medida como uma variável indicadora de “sucesso” (prevenção do acidente) e depois:
  1. Calcular o risco de acidente quando ambas são adotadas (é a probabilidade de nenhuma das duas prevenir o acidente).
  2. Determinar a função de probabilidade da variável X que conta quantas medidas (0, 1 ou 2) efetivamente reduzem o risco.

Passo 2

Primeiro achamos as probabilidades dos complementos, que são os eventos de “não prevenção”:
P(A^c)=1-0,8=0,2, \quad P(B^c)=1-0,9=0,1.
Como A e B são independentes,
P(\text{acidente})=P(A^c\cap B^c)=P(A^c)\,P(B^c)=0,2\cdot0,1=0,02.

Passo 3

Agora definimos X = número de medidas que previnem o acidente; os possíveis valores são 0, 1 ou 2. Pelas regras de probabilidade em Bernoulli independentes:
P(X=2)=P(A\cap B)=P(A)\,P(B)=0,8\cdot0,9=0,72;
P(X=1)=P(A\cap B^c)+P(A^c\cap B)=0,8\cdot0,1+0,2\cdot0,9=0,08+0,18=0,26;
P(X=0)=P(A^c\cap B^c)=0,2\cdot0,1=0,02.

Resposta

a) 0,02
b)
P(X=0)=0,02,\quad P(X=1)=0,26,\quad P(X=2)=0,72.

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