Um pesquisador interessado na relação entre o índice de massa corporal (IMC) e o colesterol total deseja usar um modelo de regressão linear em que o colesterol total é previsto pelo IMC para os dados a seguir. Use esses dados para responder os seguintes itens.
colesterol total IMC
165 25,9
155 20,1
141 22,2
228 30,7
190 28,0
155 29,4
132 20,2
170 20,7
188 26,3
150 18,2
a) Construa um modelo de regressão linear para este caso.
b) Determine os resíduos padronizados para os três primeiros indivíduos. r: \hat{Y}_{i}=58,27+4,51 X_{i}.

Passo 1

O enunciado trata de um caso de regressão linear simples em que queremos prever o colesterol total Y a partir do índice de massa corporal X. Para isso precisamos de um modelo da forma
\hat{Y}_i = b_0 + b_1 X_i
e em seguida calcular os resíduos padronizados dos três primeiros indivíduos.

Passo 2

O modelo de regressão já foi ajustado e deu
\hat{Y}_i = 58,27 + 4,51\,X_i.
Aqui b_0=58,27 é o intercepto e b_1=4,51 é o coeficiente angular que indica o acréscimo médio no colesterol total para cada unidade de IMC.

Passo 3

Calculemos primeiro os resíduos brutos e_i = Y_i - \hat{Y}_i para i=1,2,3.
Para i=1: X_1=25,9, Y_1=165
\hat{Y}_1 = 58,27 + 4,51\cdot25,9 = 175,08,
e_1 = 165 - 175,08 = -10,08.
Para i=2: X_2=20,1, Y_2=155
\hat{Y}_2 = 58,27 + 4,51\cdot20,1 = 148,92,
e_2 = 155 - 148,92 = 6,08.
Para i=3: X_3=22,2, Y_3=141
\hat{Y}_3 = 58,27 + 4,51\cdot22,2 = 158,39,
e_3 = 141 - 158,39 = -17,39.

Passo 4

Precisamos da estimativa do desvio padrão dos erros,
s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10} e_i^2}{n-2}}.
Calculando \sum e_i^2\approx 3587,17 e n-2=8, vem
s = \sqrt{\frac{3587,17}{8}}\approx 21,17.

Passo 5

O resíduo padronizado é
r_i = \frac{e_i}{\,s\sqrt{1 - h_{ii}}\,},
onde
h_{ii} = \frac{1}{n} + \frac{(X_i - \bar X)^2}{\sum_{j=1}^n (X_j - \bar X)^2}.
Aqui \bar X=24,17 e \sum (X_j-\bar X)^2\approx176,08.
Para i=1: (X_1-\bar X)^2=2,993,
h_{11} = 0,1 + \frac{2,993}{176,08} \approx 0,117.
Para i=2: (X_2-\bar X)^2=16,565,
h_{22} = 0,1 + \frac{16,565}{176,08} \approx 0,194.
Para i=3: (X_3-\bar X)^2=3,881,
h_{33} = 0,1 + \frac{3,881}{176,08} \approx 0,122.

Passo 6

Calculando finalmente
r_1 = \frac{-10,08}{21,17\sqrt{1-0,117}}\approx \frac{-10,08}{19,90}\approx -0,51,
r_2 = \frac{6,08}{21,17\sqrt{1-0,194}}\approx \frac{6,08}{19,00}\approx 0,32,
r_3 = \frac{-17,39}{21,17\sqrt{1-0,122}}\approx \frac{-17,39}{19,84}\approx -0,88.

Resposta

Os resíduos padronizados dos três primeiros indivíduos são aproximadamente:
r_1 \approx -0,51,\quad r_2 \approx 0,32,\quad r_3 \approx -0,88.

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