A v.a discreta X tem função de probabilidade dada por:
X -2 -1 / 2 0 1 3 / 2
\mathrm{p}(\mathrm{x}) 0,2 0,4 0,1 0,2 0,1
a) Obtenha F(x), a fda de X.
b) Determine F(0) e a F(1).

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória discreta X com a função de probabilidade (peguei os dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccc} \hline X & -2 & -\tfrac{1}{2} & 0 & 1 & \tfrac{3}{2} \\\ \hline p(x) & 0,2 & 0,4 & 0,1 & 0,2 & 0,1 \\\ \hline \end{array}
As perguntas são:
a) Obter F(x), a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de X.
b) Determinar F(0) e F(1).

Passo 2

O que é F(x) e como calculamos para uma v.a. discreta?
Definição: F(x)=P(X\le x).
Para uma variável discreta isso significa: para um dado x, somamos as probabilidades de todos os valores da variável que sejam menores ou iguais a x. Em outras palavras, F(x) é a soma acumulada das probabilidades dos pontos de massa até x. Importante: F(x) é uma função escalonada que tem “saltos” exatamente nas posições onde X tem probabilidade positiva; o tamanho do salto em um ponto x_0 é P(X=x_0).

Passo 3

Organizamos os valores de X em ordem crescente (peguei-os da tabela): -2,\; -\tfrac{1}{2},\; 0,\; 1,\; \tfrac{3}{2}. Agora calculamos as somas acumuladas passo a passo:
\begin{aligned} P(X\le -2)&=p(-2)=0,2,\\[4pt] P\bigl(X\le -\tfrac{1}{2}\bigr)&=p(-2)+p\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=0,2+0,4=0,6,\\[4pt] P(X\le 0)&=0,6+p(0)=0,6+0,1=0,7,\\[4pt] P(X\le 1)&=0,7+p(1)=0,7+0,2=0,9,\\[4pt] P\bigl(X\le \tfrac{3}{2}\bigr)&=0,9+p\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=0,9+0,1=1. \end{aligned}]

Passo 4

Agora escrevemos F(x) como função escalonada (cada intervalo inclui o ponto à esquerda até o próximo ponto de massa, porque F(x)=P(X\le x) incorpora a probabilidade do próprio ponto):
F(x)=\begin{cases} 0, & x< -2,\\[4pt] 0,2, & -2 \le x < -\tfrac{1}{2},\\[4pt] 0,6, & -\tfrac{1}{2} \le x < 0,\\[4pt] 0,7, & 0 \le x < 1,\\[4pt] 0,9, & 1 \le x < \tfrac{3}{2},\\[4pt] 1, & x \ge \tfrac{3}{2}. \end{cases}]

Passo 5

Vamos calcular explicitamente os valores pedidos em (b):
Para F(0):
F(0)=P(X\le 0)=p(-2)+p\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)+p(0)=0,2+0,4+0,1=0,7.
Para F(1):
F(1)=P(X\le 1)=p(-2)+p\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)+p(0)+p(1)=0,2+0,4+0,1+0,2=0,9.

Passo 6

Comentário final rápido (motivacional): veja que os saltos de F(x) em cada ponto coincidem com as probabilidades individuais p(x). Isso é útil na prova: se te pedirem a probabilidade P(X=a) a partir da f.d.a., basta calcular o tamanho do salto em x=a. Você já tem as somas acumuladas e pode responder rápido. Força aí — você consegue!

Resposta

a)
F(x)=\begin{cases} 0, & x< -2,\\[4pt] 0,2, & -2 \le x < -\tfrac{1}{2},\\[4pt] 0,6, & -\tfrac{1}{2} \le x < 0,\\[4pt] 0,7, & 0 \le x < 1,\\[4pt] 0,9, & 1 \le x < \tfrac{3}{2},\\[4pt] 1, & x \ge \tfrac{3}{2}. \end{cases}
F(0)=0,7
F(1)=0,9]

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