v=\left(5-3 t^{2}\right) :
aceleração instantânea em 2 s

Passo 1

O enunciado fornece a velocidade instantânea em função do tempo e pede a aceleração instantânea em 2\\ \text{s}. Informações dadas:
  • Velocidade: v(t)=5-3t^{2}.
  • Ponto onde quer a aceleração: t=2\\ \text{s}.
    O que se pede: calcular a aceleração instantânea em t=2\\ \text{s}.

Passo 2

O que é aceleração instantânea? A aceleração instantânea a(t) é a taxa de variação da velocidade no instante t; em linguagem matemática, é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Definição formal (limite):
a(t)=\frac{dv}{dt}=\lim_{h\to0}\frac{v(t+h)-v(t)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento de tempo; a expressão mede quanto a velocidade muda por unidade de tempo quando o incremento tende a zero. As unidades da aceleração são unidades de velocidade divididas por tempo, tipicamente \mathrm{m\\ s^{-2}}.

Passo 3

Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Derivada de uma constante: se c é constante então \dfrac{d}{dt}\text{(c)}=0. Ex.: \dfrac{d}{dt}(5)=0.
  • Regra do expoente (power rule): \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.
  • Regra da constante multiplicativa: se k é constante então \dfrac{d}{dt}\bigl(k\cdot f(t)\bigr)=k\cdot \dfrac{d}{dt}f(t). Ex.: \dfrac{d}{dt}\bigl(-3t^{2}\bigr)=-3\cdot \dfrac{d}{dt}(t^{2}).

Passo 4

Aplicar as regras à função v(t)=5-3t^{2}. Primeiro escrevemos a aceleração como derivada:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(5-3t^{2}\bigr).
Agora derivamos termo a termo:
\frac{d}{dt}(5)=0, \qquad \frac{d}{dt}(-3t^{2})=-3\cdot\frac{d}{dt}(t^{2})=-3\cdot(2t)=-6t.
Portanto,
a(t)=0-6t=-6t.

Passo 5

Avaliar a aceleração no instante t=2\\ \text{s}. Substituindo na expressão a(t)=-6t:
a(2)=-6\cdot 2=-12.

Passo 6

Interpretação e unidade: a(2)=-12 significa que a aceleração é -12 na unidade apropriada (por exemplo \mathrm{m\\ s^{-2}} se v estivesse em \mathrm{m\\ s^{-1}} e t em segundos). O sinal negativo indica que a velocidade está diminuindo naquele instante (aceleração oposta ao sentido da velocidade). Força um suspiro: ótimo — chegaste à resposta com as regras básicas de derivada!

Resposta

-12\\ \mathrm{m\\ s^{-2}}

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