Sabendo-se que U= m.g.h, qual é a fórmula dimensional da energia potencial gravitacional?

Passo 1

O enunciado dá a expressão da energia potencial gravitacional U = m \cdot g \cdot h e pede a fórmula dimensional dessa energia.
Informações fornecidas:
  • m é a massa;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • h é a altura (deslocamento vertical).
    Pergunta a responder: qual é a fórmula dimensional de U em termos das grandezas fundamentais M, L e T.

Passo 2

O que é fórmula dimensional?
A fórmula dimensional de uma grandeza mostra como ela se expressa em termos das dimensões fundamentais massa, comprimento e tempo, usualmente escritas como M, L e T. Para uma grandeza qualquer X usa-se a notação [X] para indicar a sua dimensão (por exemplo [X]=M^aL^bT^c).

Passo 3

Dimensão da massa m.
Por definição, a massa tem dimensão de massa, então
[m]=M.

Passo 4

Dimensão da aceleração g.
A aceleração é a variação da velocidade por unidade de tempo. A velocidade tem dimensão de comprimento sobre tempo, isto é [v]=L T^{-1}. Dividindo por tempo obtemos a aceleração:
[g]=[a]=L T^{-2}.
Explicando: a velocidade é metros por segundo ( \mathrm{m\,s^{-1}}), e a aceleração metros por segundo ao quadrado ( \mathrm{m\,s^{-2}}); em dimensões é L T^{-2}.

Passo 5

Dimensão da altura h.
Altura é uma comprimento, logo
[h]=L.

Passo 6

Agora multiplicamos as dimensões conforme U=mgh. Usando as dimensões encontradas:
[U]=[m]\,[g]\,[h]=M\cdot\bigl(L T^{-2}\bigr)\cdot L.
Ao multiplicar potências de L somam-se os expoentes, e T^{-2} permanece:
[U]=M\,L^{2}\,T^{-2}.

Passo 7

Interpretação em unidades SI e verificação rápida.
Em unidades do SI isso equivale a
\mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}},
que é exatamente o joule ( \mathrm{J}). Uma verificação simples: a energia cinética \tfrac{1}{2}mv^{2} também tem dimensão M L^{2} T^{-2}, então faz sentido físico ambas serem energias.

Resposta

[U]=M\,L^{2}\,T^{-2} \
(Unidade SI: \mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}} = \mathrm{J})

Exercícios relacionados