Um veículo vai a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e depois a 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual a velocidade média?

Passo 1

O enunciado dá duas velocidades em sequência e pede a velocidade média. Informações fornecidas:
  • Velocidade inicial: v_1 = 20\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade posterior: v_2 = 40\\ \mathrm{m/s}.
    Pergunta a responder:
  • Qual é a velocidade média do veículo?
Observação importante (sem resolver ainda): o enunciado não diz se o veículo ficou cada velocidade pelo mesmo tempo ou se percorreu a mesma distância em cada velocidade. Essas duas situações dão resultados diferentes para a velocidade média. Vou mostrar as duas interpretações e como calcular em cada caso.

Passo 2

Conceito central que vamos usar (aula rápida): a definição física de velocidade média é
\text{velocidade média} = \frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}.éâ
Explicando: se um objeto percorre distâncias d_1, d_2,\ldots em tempos t_1, t_2,\ldots, então a velocidade média é
v_{\text{méd}}=\frac{d_1+d_2+\cdots}{t_1+t_2+\cdots}.é
Isso é a fórmula que nunca falha — o resto é aplicar essa fórmula com as hipóteses que o problema implicar (mesmo tempo, mesma distância etc.).

Passo 3

Caso A — hipótese: o veículo manteve cada velocidade pelo mesmo intervalo de tempo (mesmo tempo em v_1 e em v_2).
Derivação didática:
  • Suponha que o veículo andou por um tempo t a v_1 e por mais um tempo t a v_2.
  • Distâncias percorridas: d_1 = v_1 t e d_2 = v_2 t.
  • Distância total: d_{\text{tot}} = d_1 + d_2 = (v_1+v_2)t.
  • Tempo total: t_{\text{tot}} = t + t = 2t.
  • Pela definição,
v_{\text{méd}}=\frac{d_{\text{tot}}}{t_{\text{tot}}}=\frac{(v_1+v_2)t}{2t}=\frac{v_1+v_2}{2}.é
Ou seja: quando os tempos são iguais, a velocidade média é a média aritmética das velocidades.
Aplicando os números:
v_{\text{méd}}=\frac{20+40}{2}=30\\ \mathrm{m/s}.é

Passo 4

Caso B — hipótese: o veículo percorreu a mesma distância em cada trecho (mesma distância a v_1 e a v_2).
Derivação didática:
  • Suponha que o veículo percorreu uma distância d a v_1 e outra distância d a v_2.
  • Tempos: t_1=\dfrac{d}{v_1} e t_2=\dfrac{d}{v_2}.
  • Distância total: d_{\text{tot}}=2d.
  • Tempo total: t_{\text{tot}}=d\!\left(\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}\right).
  • Pela definição,
v_{\text{méd}}=\frac{2d}{d\!\left(\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}\right)}=\frac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}.é
Essa fórmula é a média harmónica (harmonic mean) entre v_1 e v_2:
v_{\text{méd}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}.é
Aplicando os números:
v_{\text{méd}}=\frac{2\cdot20\cdot40}{20+40}=\frac{1600}{60}=\frac{80}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 26,67\\ \mathrm{m/s}.é

Passo 5

Interpretação e dica para prova (rapidinha e animadora): sem mais informação o problema é ambíguo; o único procedimento correto é usar sempre a definição total distância dividido por total tempo. Dependendo da hipótese (mesmo tempo ou mesma distância) obtemos respostas diferentes:
  • Se os trechos têm igual duração, usa-se a média aritmética: 30\\ \mathrm{m/s}.
  • Se os trechos têm igual comprimento, usa-se a média harmónica: \tfrac{80}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 26,67\\ \mathrm{m/s}.
Na prova: se o enunciado não disser, vale esclarecer (quando possível) ou justificar qual hipótese está sendo adotada. Você já aprendeu as duas fórmulas — ótima arma para escolher e justificar rapidamente.

Resposta

Igual tempo: 30\\ \mathrm{m/s}
Igual distância: \dfrac{80}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 26,67\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados