Se
, onde
. Verifique se os seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais de
.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
e o subconjunto
ou seja, o conjunto de todas as matrizes idempotentes. Para que
seja subespaço de
precisamos verificar três propriedades:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Verificamos que a matriz zero
satisfaz
logo
. Assim, a primeira condição (contém o vetor zero) está satisfeita.
Passo 3
Vamos testar a fechadura em relação à multiplicação por escalar. Seja
com
e tome
. Então
Para que
seja idempotente precisamos de
Como
, segue
, ou seja,
.
Portanto só para ou
temos
. Para qualquer outro
a matriz
. Logo
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Portanto só para