Se V=Mn(K), onde n >=q 2. Verifique se os seguintes subconjuntos de V são subespaços vetoriais de V.
W=A in V / A^2=A

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V = Mn(K) e o subconjunto
W = ,A in V mid A^2 = A,
ou seja, o conjunto de todas as matrizes idempotentes. Para que W seja subespaço de V precisamos verificar três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Se A,Bin W então A+Bin W.
  3. Se Ain W e lambdain K então lambda Ain W.

Passo 2

Verificamos que a matriz zero O satisfaz
O^2 = O,,
logo Oin W. Assim, a primeira condição (contém o vetor zero) está satisfeita.

Passo 3

Vamos testar a fechadura em relação à multiplicação por escalar. Seja Ain W com Aneq O e tome lambdain K. Então
(lambda A)^2 = lambda^2A^2 = lambda^2A
Para que lambda A seja idempotente precisamos de
(lambda A)^2 = lambda A Longrightarrow lambda^2A = lambda A Longrightarrow (lambda^2-lambda)A = O
Como Aneq O, segue lambda^2-lambda=0, ou seja, lambda(lambda-1)=0.
Portanto só para lambda=0 ou lambda=1 temos lambda Ain W. Para qualquer outro lambdain K a matriz lambda Anotin W. Logo W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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