5 (1 pts.) Se
e uma aplicação linear entre os espaços vetoriais
de dimensão 6 e
de dimensão 4. T pode ser uma aplicação injetiva? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação linear
onde
e
.
O conteúdo da matéria é o Teorema do Núcleo e da Imagem (Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity), que relaciona as dimensões do domínio, da imagem e do núcleo de uma aplicação linear.
O conteúdo da matéria é o Teorema do Núcleo e da Imagem (Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity), que relaciona as dimensões do domínio, da imagem e do núcleo de uma aplicação linear.
Passo 2
Pelo Teorema da Dimensão temos
Além disso, como
, vale
Passo 3
Substituindo em
e usando
, obtemos
Logo
contém vetores não nulos, ou seja,
não é injetiva.
Resposta
Não. Pela fórmula da dimensão,
, então
tem núcleo não trivial e não pode ser injetiva.