5 (1 pts.) Se T: E F e uma aplicação linear entre os espaços vetoriais E de dimensão 6 e F de dimensão 4. T pode ser uma aplicação injetiva? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação linear
Tcolon EtoF
onde dim(E)=6 e dim(F)=4.
O conteúdo da matéria é o Teorema do Núcleo e da Imagem (Teorema da Dimensão ou Rank–Nullity), que relaciona as dimensões do domínio, da imagem e do núcleo de uma aplicação linear.

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão temos
dim(E) = diml(ker Tr) + diml(ImTr)
Além disso, como ImTsubseteqF, vale
diml(ImTr)<= dim(F) = 4

Passo 3

Substituindo em
6 = diml(ker Tr) + diml(ImTr)
e usando dim(ImT)<=4, obtemos
diml(ker Tr)>= 6 - 4 = 2
Logo ker T contém vetores não nulos, ou seja, T não é injetiva.

Resposta

Não. Pela fórmula da dimensão, dim(ker T)>=2>0, então T tem núcleo não trivial e não pode ser injetiva.

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