Verifique, em cada caso, se o conjunto W dado é um subespaço de R^2 :
W=(x, y) in R^2: x^2=y^3;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W=(x,y)inR^2:;x^2=y^3
é um subespaço de R^2. Para isso, vamos usar os critérios de subespaço:
conter o vetor zero, estar fechado sob soma e estar fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) pertence a W. Substituindo x=0 e y=0 em x^2=y^3 obtemos
0^2=0^3,
ou seja, 0=0. Logo (0,0)in W.

Passo 3

Testamos o fecho sob multiplicação escalar. Note que (1,1)in W porque
1^2=1^3
Porém, para o escalar lambda=-1 vale
(-1)cdot(1,1)=(-1,-1)
e então
(-1)^2=1 e (-1)^3=-1,
ou seja, 1neq -1 e, portanto, (-1,-1)notin W. Assim, W não é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 4

Como falha no critério de fecho sob multiplicação escalar, W não satisfaz todos os requisitos para ser subespaço de R^2.

Resposta

W não é um subespaço de R^2.

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