Se m=(-2)^{4} \div 4^{2}-4^{2} \div(-2)^{3} e n=\left[(-1)^{3}-(-1)^{15} \cdot(-1)^{6}\right]+(-1)^{7},
qual o valor da divisão de m por n ?

Passo 1

O enunciado fornece duas expressões e pede a divisão de m por n. As expressões dadas são:
m = (-2)^{4} \div 4^{2} - 4^{2} \div (-2)^{3}
n = \big[(-1)^{3} - (-1)^{15}\cdot(-1)^{6}\big] + (-1)^{7}
A pergunta é: qual o valor de \dfrac{m}{n}?

Passo 2

Regras essenciais que vou usar (explicadinho, sem pular etapa):
  • Potências com base negativa: para uma base -a, (-a)^{\text{expoente par}} = a^{\text{expoente par}}>0, \qquad (-a)^{\text{expoente ímpar}} = -a^{\text{expoente ímpar}}<0.ííExemplo: (-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) que dá positivo; (-2)^3 = (-2)(-2)(-2) que dá negativo.
  • Para a base -1 vale a regra simples: (-1)^{k} = \begin{cases} 1, & \text{se }k\text{ é par},\\[4pt] -1, & \text{se }k\text{ é ímpar}. \end{cases}ééí
  • Ordem das operações: calcular potências primeiro; depois multiplicação e divisão da esquerda para a direita; por fim adição/subtração e avaliação de colchetes.]

Passo 3

Começo calculando todas as potências presentes em m, seguindo a ordem (potências primeiro).
Calcular (-2)^{4}:
(-2)^{4}=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=4\cdot4=16.
Calcular 4^{2}:
4^{2}=4\cdot4=16.
Calcular (-2)^{3}:
(-2)^{3}=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=4\cdot(-2)=-8.

Passo 4

Substituindo esses valores em m e efetuando as divisões (da esquerda para a direita):
m = \dfrac{(-2)^{4}}{4^{2}} - \dfrac{4^{2}}{(-2)^{3}} = \dfrac{16}{16} - \dfrac{16}{-8}.
Calcular cada divisão:
\dfrac{16}{16}=1, \qquad \dfrac{16}{-8}=-2.
Então
m = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3.

Passo 5

Agora calculo as potências em n. Usarei a regra de (-1)^{k} conforme a paridade de k.
Calcular (-1)^{3}:
(-1)^{3}=-1\quad(\text{expoente ímpar}).í
Calcular (-1)^{15}:
(-1)^{15}=-1\quad(\text{expoente ímpar}).í
Calcular (-1)^{6}:
(-1)^{6}=1\quad(\text{expoente par}).
Calcular (-1)^{7}:
(-1)^{7}=-1\quad(\text{expoente ímpar}).í

Passo 6

Agora faço a multiplicação dentro do colchete e avalio o colchete:
(-1)^{15}\cdot(-1)^{6} = (-1)\cdot 1 = -1.
Então o conteúdo do colchete é
(-1)^{3} - \big((-1)^{15}\cdot(-1)^{6}\big) = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0.
Somando com (-1)^{7}:
n = 0 + (-1) = -1.

Passo 7

Agora que temos m e n, calculo a divisão pedida:
\frac{m}{n}=\frac{3}{-1}=-3.
Explicação curta: dividir por -1 apenas inverte o sinal do numerador.

Resposta

-3

Exercícios relacionados