Suponha que
e que
. O que se pode dizer sobre a relação entre
e
? O que se pode afirmar no caso em que
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um espaço vetorial de dimensão finita. - Existem subespaços
tais que
O que é pedido:
- Dizer qual é a relação entre
e . - Especificar o que se pode afirmar se ainda soubermos que
.
Passo 2
Lembrando a definição e consequências básicas (explicação didática):
- A soma direta
significa duas coisas: -
, ou seja, todo pode ser escrito como com e . -
, ou seja, essa escrita é única.
-
- Para espaços de dimensão finita, quando
e é direto, vale a fórmula de dimensão
Vou usar essas propriedades para relacionar
e
.
Passo 3
Comparando dimensões a partir das duas decomposições:
- Da igualdade
segue - Da igualdade
segue
Subtraindo
das duas expressões obtemos
Portanto
e
têm a mesma dimensão.
Passo 4
Construção de um isomorfismo explícito entre
e
(método concreto que dá entendimento para a prova):
- Tome qualquer
. Como , o vetor pode ser escrito de forma única como com e . Defina a aplicação - Primeiro verificar que
está bem definida: a decomposição em e é única porque , então o associado a cada é único.
Passo 5
Provar que
é linear:
- Se
e (campo dos escalares), escrevendo com , , então Como a decomposição em é única, a parte em de é . Logo provando linearidade.
Passo 6
Provar que
é injetora:
- Se
então, pela definição, escrevemos com . Assim . - Mas
pela hipótese de soma direta, logo . Portanto e é injetora.
Passo 7
Provar que
é sobrejetora:
- Seja
. Como , o vetor pode ser escrito de forma única como com e . Pela definição, . Logo todo tem um pré‑imagem em , isto é, é sobrejetora.
Passo 8
Conclusão sobre a relação entre
e
:
- A aplicação
é linear, injetora e sobrejetora, portanto é um isomorfismo linear. - Consequência prática e útil na prova: todos os complementos de
em (quando ) têm a mesma dimensão e são isomorfos entre si. - Observação adicional (às vezes pedida): existe um automorfismo de
que é a identidade em e envia em . Basta estender por identidade em .
Passo 9
Caso especial em que
:
- Já provamos em
Passo 10
- Se
e então necessariamente . - Assim, no caso
conclui‑se que : não pode haver inclusão própria entre dois complementos de em quando é de dimensão finita.
Resposta
Os subespaços
e
têm a mesma dimensão e são isomorfos como espaços vetoriais (existe um isomorfismo linear
construído pela decomposição relativa a
).
Se adicionalmente , então
.
Se adicionalmente