Suponha que \operatorname{dim}(V)<\infty e que V=U \oplus S_{1}=U \oplus S_{2}. O que se pode dizer sobre a relação entre S_{1} e S_{2} ? O que se pode afirmar no caso em que S_{1} \subseteq S_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • V é um espaço vetorial de dimensão finita.
  • Existem subespaços U,S_{1},S_{2} tais que V = U \oplus S_{1} \qquad\text{e}\qquad V = U \oplus S_{2}.
O que é pedido:
  1. Dizer qual é a relação entre S_{1} e S_{2}.
  2. Especificar o que se pode afirmar se ainda soubermos que S_{1}\subseteq S_{2}.

Passo 2

Lembrando a definição e consequências básicas (explicação didática):
  • A soma direta V=U\oplus S significa duas coisas:
    1. U+S=V, ou seja, todo v\in V pode ser escrito como v=u+s com u\in U e s\in S.
    2. U\cap S=\{0\}, ou seja, essa escrita é única.
  • Para espaços de dimensão finita, quando U\cap S=\{0\} e U+S é direto, vale a fórmula de dimensão \dim V = \dim U + \dim S.
Vou usar essas propriedades para relacionar S_{1} e S_{2}.

Passo 3

Comparando dimensões a partir das duas decomposições:
  • Da igualdade V=U\oplus S_{1} segue \dim V = \dim U + \dim S_{1}.
  • Da igualdade V=U\oplus S_{2} segue \dim V = \dim U + \dim S_{2}.
Subtraindo \dim U das duas expressões obtemos
\dim S_{1} = \dim S_{2} = \dim V - \dim U.
Portanto S_{1} e S_{2} têm a mesma dimensão.

Passo 4

Construção de um isomorfismo explícito entre S_{1} e S_{2} (método concreto que dá entendimento para a prova):
  • Tome qualquer s\in S_{1}. Como V=U\oplus S_{2}, o vetor s\in V pode ser escrito de forma única como s = u + s',com u\in U e s'\in S_{2}. Defina a aplicação \varphi: S_{1}\to S_{2},\qquad \varphi(s)=s'.
  • Primeiro verificar que \varphi está bem definida: a decomposição em U e S_{2} é única porque U\cap S_{2}=\{0\}, então o s' associado a cada s é único.

Passo 5

Provar que \varphi é linear:
  • Se s_{1},s_{2}\in S_{1} e \alpha,\beta\in\mathbb{F} (campo dos escalares), escrevendo s_{1}=u_{1}+s_{1}',\qquad s_{2}=u_{2}+s_{2}',com u_{i}\in U, s_{i}'\in S_{2}, então \alpha s_{1}+\beta s_{2} = (\alpha u_{1}+\beta u_{2}) + (\alpha s_{1}'+\beta s_{2}').Como a decomposição em U\oplus S_{2} é única, a parte em S_{2} de \alpha s_{1}+\beta s_{2} é \alpha s_{1}'+\beta s_{2}'. Logo \varphi(\alpha s_{1}+\beta s_{2})=\alpha s_{1}'+\beta s_{2}'=\alpha\varphi(s_{1})+\beta\varphi(s_{2}),provando linearidade.

Passo 6

Provar que \varphi é injetora:
  • Se \varphi(s)=0 então, pela definição, escrevemos s=u+0 com u\in U. Assim s\in U\cap S_{1}.
  • Mas U\cap S_{1}=\{0\} pela hipótese de soma direta, logo s=0. Portanto \ker\varphi=\{0\} e \varphi é injetora.

Passo 7

Provar que \varphi é sobrejetora:
  • Seja y\in S_{2}. Como V=U\oplus S_{1}, o vetor y\in V pode ser escrito de forma única como y = u + scom u\in U e s\in S_{1}. Pela definição, \varphi(s)=y. Logo todo y\in S_{2} tem um pré‑imagem em S_{1}, isto é, \varphi é sobrejetora.

Passo 8

Conclusão sobre a relação entre S_{1} e S_{2}:
  • A aplicação \varphi: S_{1}\to S_{2} é linear, injetora e sobrejetora, portanto é um isomorfismo linear.
  • Consequência prática e útil na prova: todos os complementos de U em V (quando \dim V<\infty) têm a mesma dimensão e são isomorfos entre si.
  • Observação adicional (às vezes pedida): existe um automorfismo de V que é a identidade em U e envia S_{1} em S_{2}. Basta estender \varphi por identidade em U.

Passo 9

Caso especial em que S_{1}\subseteq S_{2}:
  • Já provamos em

Passo 10

  • Se S_{1}\subseteq S_{2} e \dim S_{1}=\dim S_{2} então necessariamente S_{1}=S_{2}.
  • Assim, no caso S_{1}\subseteq S_{2} conclui‑se que S_{1}=S_{2}: não pode haver inclusão própria entre dois complementos de U em V quando V é de dimensão finita.

Resposta

Os subespaços S_{1} e S_{2} têm a mesma dimensão e são isomorfos como espaços vetoriais (existe um isomorfismo linear \varphi\colon S_{1}\to S_{2} construído pela decomposição relativa a U).
Se adicionalmente S_{1}\subseteq S_{2}, então S_{1}=S_{2}.

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