Uma v.a. discreta X tem a seguinte função geratriz de probabilidade \Psi_{X}(t)= (q+p t)^{n}, em que 0<p<1 e q=1-p. Encontre a sua função de probabilidade, m_{X}(t), c_{X}(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a função geradora de probabilidade
\Psi_{X}(t)=(q+p t)^{n}, com 0<p<1 e q=1-p.
O que é pedido:
  • Encontrar a função de probabilidade (pmf) de X, isto é P(X=k) para os possíveis valores de k.
  • Encontrar m_{X}(t) (a função geradora de momentos, isto é m_X(t)=E[e^{tX}]).
  • Encontrar c_{X}(t) (a função geradora de cumulantes, isto é c_X(t)=\log m_X(t)).

Passo 2

Como extrair a pmf de \Psi_{X}(t).
A função geradora de probabilidade é \Psi_X(t)=E[t^{X}]=\sum_{k} P(X=k)\,t^{k}. Assim, os coeficientes da expansão em potências de t são as probabilidades P(X=k).
Usamos o Teorema do Binômio para expandir \Psi_X(t):
\Psi_X(t)=(q+p t)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} q^{\,n-k}(p t)^{k}.
Colocando o t^{k} em evidência:
\Psi_X(t)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} q^{\,n-k} p^{k}\, t^{k}.
Comparando com \Psi_X(t)=\sum_{k} P(X=k)\,t^{k}, obtemos para todo k=0,1,\dots,n:
P(X=k)=\binom{n}{k} q^{\,n-k} p^{k}.
Explicando os símbolos: \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial; p e q são as probabilidades associadas (com q=1-p); os valores possíveis de X são os inteiros de 0 a n.

Passo 3

Definição e relação entre PGF e MGF.
A função geradora de momentos (mgf) é
m_X(t)=E[e^{tX}].
Observe que e^{tX}=(e^{t})^{X}. Por isso existe uma relação direta entre a PGF e a mgf: basta substituir t por e^{t} na PGF. Logo,
m_X(t)=\Psi_X(e^{t}).
Aplicando isso à nossa \Psi_X:
m_X(t)=\bigl(q+p e^{t}\bigr)^{n}.
Isto é exatamente a mgf de X.

Passo 4

Função geradora de cumulantes c_X(t).
Por definição,
c_X(t)=\log m_X(t).
Substituindo o m_X(t) encontrado:
c_X(t)=\log\bigl((q+p e^{t})^{n}\bigr)=n\log\bigl(q+p e^{t}\bigr).

Passo 5

Usando m_X e c_X para obter média e variância (aula rápida de aplicação).
  • A média é E[X]=m_X'(0) ou E[X]=c_X'(0). Calculemos por derivada de c_X (às vezes é mais direto):
c_X'(t)=n\cdot\frac{p e^{t}}{q+p e^{t}}.
Avaliando em t=0 (lembrando que q+p=1):
E[X]=c_X'(0)=n\cdot\frac{p e^{0}}{q+p e^{0}}=n\cdot\frac{p}{1}=n p.
  • A variância é \operatorname{Var}(X)=c_X''(0). Derivando novamente:
c_X''(t)=n\cdot\frac{p e^{t}(q+p e^{t})-p e^{t}\cdot p e^{t}}{(q+p e^{t})^{2}} = n\cdot\frac{p q e^{t}}{(q+p e^{t})^{2}}.
Avaliando em t=0:
\operatorname{Var}(X)=c_X''(0)=n\cdot\frac{p q}{(q+p)^{2}}=n p q.
Esses resultados confirmam que X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p: média n p e variância n p q.

Resposta

P(X=k)=\binom{n}{k} q^{\,n-k} p^{k},\qquad k=0,1,\dots,n
m_{X}(t)=\bigl(q+p e^{t}\bigr)^{n}
c_{X}(t)=n\log\bigl(q+p e^{t}\bigr)

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