Uma v.a. discreta
tem a seguinte função geratriz de probabilidade
, em que
e
. Encontre a sua função de probabilidade,
,
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função geradora de probabilidade
, com
e
.
O que é pedido:
O que é pedido:
- Encontrar a função de probabilidade (pmf) de
, isto é para os possíveis valores de . - Encontrar
(a função geradora de momentos, isto é ). - Encontrar
(a função geradora de cumulantes, isto é ).
Passo 2
Como extrair a pmf de
.
A função geradora de probabilidade é . Assim, os coeficientes da expansão em potências de
são as probabilidades
.
A função geradora de probabilidade é
Usamos o Teorema do Binômio para expandir
:
Colocando o
em evidência:
Comparando com
, obtemos para todo
:
Explicando os símbolos:
é o coeficiente binomial;
e
são as probabilidades associadas (com
); os valores possíveis de
são os inteiros de
a
.
Passo 3
Definição e relação entre PGF e MGF.
A função geradora de momentos (mgf) é
A função geradora de momentos (mgf) é
Observe que
. Por isso existe uma relação direta entre a PGF e a mgf: basta substituir
por
na PGF. Logo,
Aplicando isso à nossa
:
Isto é exatamente a mgf de
.
Passo 4
Função geradora de cumulantes
.
Por definição,
Por definição,
Substituindo o
encontrado:
Passo 5
Usando
e
para obter média e variância (aula rápida de aplicação).
- A média é
ou . Calculemos por derivada de (às vezes é mais direto):
Avaliando em
(lembrando que
):
- A variância é
. Derivando novamente:
Avaliando em
:
Esses resultados confirmam que
segue a distribuição binomial com parâmetros
e
: média
e variância
.