Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando-se as preferências?
Passo 1
O enunciado tem 10 assentos numerados, sendo 5 virados para frente e 5 virados para trás, e 10 passageiros distintos: 4 que exigem assento de frente, 3 que exigem assento de costas e 3 sem preferência. O conteúdo é contagem de permutações com restrição, usando o princípio fundamental da contagem e permutações parciais
.
Passo 2
Contar de quantas formas os 4 que preferem frente podem ocupar 5 assentos de frente. Como escolhemos e ordenamos 4 lugares dentre 5, usamos permutação parcial:
Passo 3
Contar de quantas formas os 3 que preferem costas podem ocupar 5 assentos de costas. Similarmente,
Passo 4
Após alocar 7 passageiros, sobram exatamente 3 assentos (1 de frente e 2 de costas) e 3 passageiros sem preferência. Eles podem se sentar livremente nesses 3 lugares em
formas.
Passo 5
Pelo princípio multiplicativo, o total de arranjos respeitando preferências é