(Vale: 1,5) Avalie a série em convergente ou divergente. Especifique o(s) Teste(s) utilizado(s) e jutifique usa resposta:
Sugestão: Note que
então
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Comparação, que faz parte do conteúdo de Séries Numéricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Observando que
, podemos dizer que:
Isso nos ajuda a comparar nossa série original com outra mais simples:
.
Passo 3
Vamos simplificar
:
Isso pode ser reescrito como:
Portanto, nossa série comparativa é uma progressão geométrica com razão
.
Passo 4
Sabemos que uma progressão geométrica
converge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1. Portanto, a série comparativa:
converge.
Passo 5
Como
e a série
converge, pelo Teste da Comparação, a série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação.