(Vale: 1,5) Avalie a série em convergente ou divergente. Especifique o(s) Teste(s) utilizado(s) e jutifique usa resposta:
sumn=1^infty 2^n cos ^2(n)5^n-1
Sugestão: Note que 0 então 0<2^n cos ^2(n)5^n-1 <= 2^n5^n-1

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
sumn=1^infty 2^n cos ^2(n)5^n-1
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Comparação, que faz parte do conteúdo de Séries Numéricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Observando que 0 < cos^2(n) <= 1, podemos dizer que:
0 < 2^n cos^2(n)5^n-1 <= 2^n5^n-1
Isso nos ajuda a comparar nossa série original com outra mais simples: 2^n5^n-1.

Passo 3

Vamos simplificar 2^n5^n-1:
2^n5^n-1 = 2 cdot (25)^n-1
Isso pode ser reescrito como:
2 cdot (25)^n cdot 5 = 10 cdot (25)^n
Portanto, nossa série comparativa é uma progressão geométrica com razão 25.

Passo 4

Sabemos que uma progressão geométrica sumn=1^infty ar^n converge se |r| < 1. No nosso caso, r = 25, que é menor que 1. Portanto, a série comparativa:
sumn=1^infty 10 cdot (25)^n
converge.

Passo 5

Como 2^n cos^2(n)5^n-1 <= 2^n5^n-1 e a série sumn=1^infty 2^n5^n-1 converge, pelo Teste da Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty 2^n cos ^2(n)5^n-1
converge pelo Teste da Comparação.

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