(vale 1) Calcular os números \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2} tais que: \vec{w}=a_{1} \vec{u}+a_{2} \vec{v}, sendo \vec{u}=(-1,-2), \vec{v}=(1,4), \vec{w}=(1,-2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os escalares \mathrm{a}_{1} e \mathrm{a}_{2} que satisfazem a igualdade entre vetores
\vec{w} = \mathrm{a}_{1}\,\vec{u} + \mathrm{a}_{2}\,\vec{v}.
As informações dadas são:
\vec{u}=(-1,-2),\qquad \vec{v}=(1,4),\qquad \vec{w}=(1,-2).
Ou seja, temos dois números desconhecidos \mathrm{a}_{1} e \mathrm{a}_{2} e queremos achar esses valores.

Passo 2

Explicação didática do que significa \vec{w}=\mathrm{a}_{1}\vec{u}+\mathrm{a}_{2}\vec{v}:
  • A expressão \mathrm{a}_{1}\vec{u}+\mathrm{a}_{2}\vec{v} é uma combinação linear dos vetores \vec{u} e \vec{v}. Cada coordenada do vetor resultado é a combinação linear das coordenadas correspondentes de \vec{u} e \vec{v}.
  • Para vetores em \mathbb{R}^2, se \vec{u}=(u_1,u_2), \vec{v}=(v_1,v_2) e \vec{w}=(w_1,w_2), então a igualdade vetorial
\vec{w}=\mathrm{a}_{1}\vec{u}+\mathrm{a}_{2}\vec{v}
é equivalente ao sistema de equações obtido ao igualar cada coordenada:
w_1=\mathrm{a}_{1}u_1+\mathrm{a}_{2}v_1,\qquad w_2=\mathrm{a}_{1}u_2+\mathrm{a}_{2}v_2.
Isso significa que basta montar e resolver esse sistema linear para achar \mathrm{a}_{1} e \mathrm{a}_{2}.

Passo 3

Aplicando o que dissemos ao caso concreto: escrevemos a igualdade vetorial com as coordenadas dadas:
(1,-2)=\mathrm{a}_{1}(-1,-2)+\mathrm{a}_{2}(1,4).
Agora igualamos coordenadas separadamente para obter o sistema de duas equações em \mathrm{a}_{1} e \mathrm{a}_{2}:
Primeira coordenada (componente x):
1 = \mathrm{a}_{1}(-1) + \mathrm{a}_{2}(1) \quad\Longrightarrow\quad -\mathrm{a}_{1} + \mathrm{a}_{2} = 1.
Segunda coordenada (componente y):
-2 = \mathrm{a}_{1}(-2) + \mathrm{a}_{2}(4) \quad\Longrightarrow\quad -2\mathrm{a}_{1} + 4\mathrm{a}_{2} = -2.

Passo 4

Agora vamos resolver o sistema
\begin{cases} -\mathrm{a}_{1} + \mathrm{a}_{2} = 1,\\[4pt] -2\mathrm{a}_{1} + 4\mathrm{a}_{2} = -2. \end{cases}
Vou usar o método da substituição (é simples aqui): da primeira equação isolamos \mathrm{a}_{2}:
\mathrm{a}_{2} = 1 + \mathrm{a}_{1}.
Isso significa que \mathrm{a}_{2} vale 1 mais o valor de \mathrm{a}_{1}. Agora substituímos essa expressão na segunda equação.]

Passo 5

Substituindo \mathrm{a}_{2}=1+\mathrm{a}_{1} na segunda equação:
-2\mathrm{a}_{1} + 4(1+\mathrm{a}_{1}) = -2.
Desenvolvendo os parênteses:
-2\mathrm{a}_{1} + 4 + 4\mathrm{a}_{1} = -2.
Agrupando termos semelhantes em \mathrm{a}_{1}:
(-2\mathrm{a}_{1}+4\mathrm{a}_{1}) + 4 = -2 \quad\Longrightarrow\quad 2\mathrm{a}_{1} + 4 = -2.
Isolando \mathrm{a}_{1}:
2\mathrm{a}_{1} = -2 - 4 = -6 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{a}_{1} = \frac{-6}{2} = -3.

Passo 6

Com \mathrm{a}_{1}=-3, voltamos à expressão \mathrm{a}_{2}=1+\mathrm{a}_{1} para achar \mathrm{a}_{2}:
\mathrm{a}_{2} = 1 + (-3) = -2.
É sempre bom checar: calculamos \mathrm{a}_{1}\vec{u}+\mathrm{a}_{2}\vec{v} com esses valores para ver se dá \vec{w}:
-3(-1,-2) + (-2)(1,4) = (3,6) + (-2,-8) = (3-2,\;6-8) = (1,-2),
que é exatamente \vec{w}. A checagem confirma que os valores estão corretos.

Resposta

\mathrm{a}_{1}=-3\
\mathrm{a}_{2}=-2

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