(vale 1) Calcular os números
,
tais que:
, sendo
,
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os escalares
e
que satisfazem a igualdade entre vetores
As informações dadas são:
Ou seja, temos dois números desconhecidos
e
e queremos achar esses valores.
Passo 2
Explicação didática do que significa
:
- A expressão
é uma combinação linear dos vetores e . Cada coordenada do vetor resultado é a combinação linear das coordenadas correspondentes de e . - Para vetores em
, se , e , então a igualdade vetorial
é equivalente ao sistema de equações obtido ao igualar cada coordenada:
Isso significa que basta montar e resolver esse sistema linear para achar
e
.
Passo 3
Aplicando o que dissemos ao caso concreto: escrevemos a igualdade vetorial com as coordenadas dadas:
Agora igualamos coordenadas separadamente para obter o sistema de duas equações em
e
:
Primeira coordenada (componente ):
Primeira coordenada (componente
Segunda coordenada (componente
):
Passo 4
Agora vamos resolver o sistema
Vou usar o método da substituição (é simples aqui): da primeira equação isolamos
:
Isso significa que
vale
mais o valor de
. Agora substituímos essa expressão na segunda equação.]
Passo 5
Substituindo
na segunda equação:
Desenvolvendo os parênteses:
Agrupando termos semelhantes em
:
Isolando
:
Passo 6
Com
, voltamos à expressão
para achar
:
É sempre bom checar: calculamos
com esses valores para ver se dá
:
que é exatamente
. A checagem confirma que os valores estão corretos.