(vale 1) Determinar o vetor \vec{w} na igualdade 2 \vec{w}+3 \vec{u}=\frac{1}{2} \vec{v}-\vec{w}, sendo \vec{u}=(0,-1), \vec{v}=(3,-3)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vetor \vec{w} que satisfaz a igualdade
2\vec{w}+3\vec{u}=\frac{1}{2}\vec{v}-\vec{w},
onde foram dados os vetores \vec{u} e \vec{v}. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\vec{u}=\,(0,-1) e \vec{v}=\,(3,-3).
A incógnita que precisamos encontrar é \vec{w}.

Passo 2

Entendendo a ideia (mini-aula): uma equação entre vetores segue as mesmas regras algébricas de uma equação numérica porque os vetores formam um espaço vetorial. Isso significa que podemos somar o mesmo vetor a ambos os lados, multiplicar por escalares e isolar \vec{w} como se fosse uma incógnita normal. Lembrete prático sobre operações com vetores em coordenadas: se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), então
\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2),
e para escalar \lambda,
\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2).
Além disso, duas componentes são iguais se e só se os vetores são iguais componente a componente.

Passo 3

Isolar \vec{w} na equação, fazendo operações algébricas passo a passo:
Primeiro, some \vec{w} aos dois lados para eliminar o -\vec{w} do lado direito:
2\vec{w}+3\vec{u}+\vec{w}=\frac{1}{2}\vec{v}-\vec{w}+\vec{w}.
Isso simplifica para
3\vec{w}+3\vec{u}=\frac{1}{2}\vec{v}.
Agora subtraia 3\vec{u} dos dois lados:
3\vec{w}=\frac{1}{2}\vec{v}-3\vec{u}.
Por fim, divida ambos os lados por 3 (ou multiplique por \tfrac{1}{3}):
\vec{w}=\tfrac{1}{3}\!\left(\frac{1}{2}\vec{v}-3\vec{u}\right).
Podemos também reescrever essa expressão de forma equivalente:
\vec{w}=\frac{1}{6}\vec{v}-\vec{u}.
Aqui eu usei apenas regras de soma e multiplicação por escalares em vetores.

Passo 4

Agora substituímos os vetores dados pelo enunciado: peguei \vec{u}=(0,-1) e \vec{v}=(3,-3) diretamente do enunciado. Calculemos passo a passo usando coordenadas.
Calcule \tfrac{1}{2}\vec{v}:
\tfrac{1}{2}\vec{v}=\tfrac{1}{2}(3,-3)=\left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2}\right).
Calcule 3\vec{u}:
3\vec{u}=3(0,-1)=(0,-3).
Subtraia 3\vec{u} de \tfrac{1}{2}\vec{v}:
\tfrac{1}{2}\vec{v}-3\vec{u}=\left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2}\right)-(0,-3)=\left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2}+3\right).
Faço a conta na segunda componente: -\tfrac{3}{2}+3=-\tfrac{3}{2}+\tfrac{6}{2}=\tfrac{3}{2}. Logo
\tfrac{1}{2}\vec{v}-3\vec{u}=\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right).

Passo 5

Tínhamos 3\vec{w}=\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right). Dividindo por 3 componente a componente:
\vec{w}=\left(\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{3},\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{3}\right)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right).
Como checagem extra (opcional, mas útil na prova): usando a forma \vec{w}=\tfrac{1}{6}\vec{v}-\vec{u},
\tfrac{1}{6}\vec{v}=\tfrac{1}{6}(3,-3)=\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right),
e
\tfrac{1}{6}\vec{v}-\vec{u}=\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right)-(0,-1)=\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}+1\right)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right),
que confirma o resultado.

Passo 6

Verificação direta na equação original: calcule os dois lados com \vec{w}=(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).
Lado esquerdo:
2\vec{w}+3\vec{u}=2\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)+3(0,-1)=(1,1)+(0,-3)=(1,-2).
Lado direito:
\tfrac{1}{2}\vec{v}-\vec{w}=\left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{3}{2}\right)-\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)=(1,-2).
Os dois lados coincidem, então a solução está correta. Boa! Você conseguiu — é só manipular como uma equação normal e lembrar que operações são feitas componente a componente.

Resposta

\vec{w}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)

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