(vale 2,5 ) Considere a equação diferencial
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=x+\cos (x)
(a) (vale 0,6) Determine a solução geral da equação homogênea associada.
(b) (vale 1,5 ) Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular da equação não homogênea.
(c) (vale 0,4) Escreva a solução geral da equação diferencial.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime}-y^{\prime}=x+\cos(x)
e pede três coisas:
(a) determinar a solução geral da equação homogênea associada;
(b) usando o método dos coeficientes a determinar, encontrar uma solução particular da equação não homogênea;
(c) escrever a solução geral da equação diferencial completa.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Equação completa: }y^{\prime\prime}-y^{\prime}=x+\cos(x).çã
Não há condições iniciais; portanto as respostas serão com constantes arbitrárias. A parte não homogênea é soma de um polinômio x (grau 1) e de \cos(x).

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Primeiro escrevemos a homogênea:
y^{\prime\prime}-y^{\prime}=0.
Para resolver uma equação linear homogênea com coeficientes constantes usamos a equação característica: substituímos y=e^{rx} e obtemos o polinômio em r. Aqui a equação característica é
r^{2}-r=0.
Explicando: a ideia é que derivando e^{rx} gera fatores r que viram um polinômio em r; as raízes desse polinômio dão as exponenciais que compõem a solução. Agora fatoramos:
r(r-1)=0,
logo as raízes são r_{1}=0 e r_{2}=1. Cada raiz simples r gera uma solução e^{rx}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}e^{0\cdot x}+C_{2}e^{1\cdot x}=C_{1}+C_{2}e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher o ansatz (palpite) para a solução particular pelo método dos coeficientes a determinar. Regra prática: para cada termo da parte direita escolhemos um tipo de função semelhante (polinomial, exponencial, seno/cosseno, produto etc.). Aqui a parte direita é x+\cos(x), soma de um polinômio de grau 1 e de \cos(x). Portanto:
  • Para o termo polinomial x, normalmente tentaríamos Ax+B. Mas atenção: se e^{0x}=1 (constante) é solução da homogênea — e de fato r=0 é raiz da característica — então termos constantes no ansatz gerariam ressonância. A regra é multiplicar por x^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz r=0 (aqui s=1). Assim o ansatz para o polinômio fica x\cdot(Ax+B)=A x^{2}+B x.
  • Para o termo \cos(x) usamos o ansatz C\cos(x)+D\sin(x), pois \cos e \sin são combinadas por derivação. Como \pm i não são raízes da característica (temos raízes 0 e 1), não há ressonância aqui.
Somando as duas partes, propomos o ansatz
y_{p}=a x^{2}+b x + C\cos(x)+D\sin(x).
(Aqui troquei A,B por a,b para não confundir com C_{1},C_{2}.)

Passo 4

Calcular y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime}. Derivamos termo a termo com calma e explicando cada passo:
Para o polinômio a x^{2}+b x:
\frac{d}{dx}(a x^{2}+b x)=2a x + b,
\frac{d^{2}}{dx^{2}}(a x^{2}+b x)=2a.
Para os trigonométricos C\cos x + D\sin x:
\frac{d}{dx}\big(C\cos x + D\sin x\big) = -C\sin x + D\cos x,
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\big(C\cos x + D\sin x\big) = -C\cos x - D\sin x.
Portanto, somando as partes,
y_{p}^{\prime}=2a x + b - C\sin x + D\cos x,
y_{p}^{\prime\prime}=2a - C\cos x - D\sin x.

Passo 5

Formar y_{p}^{\prime\prime}-y_{p}^{\prime} e simplificar agrupando termos polinomiais e trigonométricos:
y_{p}^{\prime\prime}-y_{p}^{\prime}=(2a - C\cos x - D\sin x) - (2a x + b - C\sin x + D\cos x).
Agora vou rearranjar e juntar termos semelhantes. Primeiro os termos polinomiais (em x e constantes):
(2a) - (2a x + b) = -2a x + (2a - b).
Agora os termos em \cos x e \sin x:
(-C\cos x - D\sin x) - (-C\sin x + D\cos x)
= -C\cos x - D\sin x + C\sin x - D\cos x
= -(C + D)\cos x + (C - D)\sin x.
Somando tudo:
y_{p}^{\prime\prime}-y_{p}^{\prime} = -2a x + (2a - b) - (C + D)\cos x + (C - D)\sin x.

Passo 6

Igualar y_{p}^{\prime\prime}-y_{p}^{\prime} à parte direita x+\cos x e igualar coeficientes de termos independentes:
Queremos
-2a x + (2a - b) - (C + D)\cos x + (C - D)\sin x = x + \cos x.
Comparando coeficientes termo a termo:
Coeficiente de x:
-2a = 1.
Termo constante:
2a - b = 0.
Coeficiente de \cos x:
-(C + D) = 1.
Coeficiente de \sin x:
C - D = 0.

Passo 7

Resolver o sistema para a,b,C,D. Primeiro do polinomial:
-2a=1 \implies a=-\tfrac{1}{2}.
Então
2a-b=0 \implies b=2a=2\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-1.
Agora os trigonométricos. Da última equação C-D=0 temos C=D. Substituindo em -(C+D)=1:
-(C+C)=1 \implies -2C=1 \implies C=-\tfrac{1}{2}.
Logo D=C=-\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Escrever a solução particular encontrada e comentar rapidamente. Com os coeficientes calculados,
y_{p}=a x^{2}+b x + C\cos x + D\sin x
y_{p}=-\tfrac{1}{2}x^{2} - x -\tfrac{1}{2}\cos x -\tfrac{1}{2}\sin x.
Esse y_{p} é uma função que, ao substituir na equação y^{\prime\prime}-y^{\prime}, produz exatamente x+\cos x, portanto é uma solução particular válida.

Passo 9

Montar a solução geral da equação completa somando a homogênea e a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}-\tfrac{1}{2}x^{2}-x-\tfrac{1}{2}\cos x-\tfrac{1}{2}\sin x,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

(a) y_{h}=C_{1}+C_{2}e^{x}
(b) y_{p}=-\tfrac{1}{2}x^{2}-x-\tfrac{1}{2}\cos x-\tfrac{1}{2}\sin x
(c) y=C_{1}+C_{2}e^{x}-\tfrac{1}{2}x^{2}-x-\tfrac{1}{2}\cos x-\tfrac{1}{2}\sin x

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