(vale 2,5 ) Considere a equação diferencial
(a) (vale 0,6) Determine a solução geral da equação homogênea associada.
(b) (vale 1,5 ) Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular da equação não homogênea.
(c) (vale 0,4) Escreva a solução geral da equação diferencial.
(b) (vale 1,5 ) Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre uma solução particular da equação não homogênea.
(c) (vale 0,4) Escreva a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede três coisas:
(a) determinar a solução geral da equação homogênea associada;
(b) usando o método dos coeficientes a determinar, encontrar uma solução particular da equação não homogênea;
(c) escrever a solução geral da equação diferencial completa.
(a) determinar a solução geral da equação homogênea associada;
(b) usando o método dos coeficientes a determinar, encontrar uma solução particular da equação não homogênea;
(c) escrever a solução geral da equação diferencial completa.
Informações relevantes fornecidas:
Não há condições iniciais; portanto as respostas serão com constantes arbitrárias. A parte não homogênea é soma de um polinômio
(grau 1) e de
.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. Primeiro escrevemos a homogênea:
Para resolver uma equação linear homogênea com coeficientes constantes usamos a equação característica: substituímos
e obtemos o polinômio em
. Aqui a equação característica é
Explicando: a ideia é que derivando
gera fatores
que viram um polinômio em
; as raízes desse polinômio dão as exponenciais que compõem a solução. Agora fatoramos:
logo as raízes são
e
. Cada raiz simples
gera uma solução
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher o ansatz (palpite) para a solução particular pelo método dos coeficientes a determinar. Regra prática: para cada termo da parte direita escolhemos um tipo de função semelhante (polinomial, exponencial, seno/cosseno, produto etc.). Aqui a parte direita é
, soma de um polinômio de grau
e de
. Portanto:
- Para o termo polinomial
, normalmente tentaríamos . Mas atenção: se (constante) é solução da homogênea — e de fato é raiz da característica — então termos constantes no ansatz gerariam ressonância. A regra é multiplicar por , onde é a multiplicidade da raiz (aqui ). Assim o ansatz para o polinômio fica . - Para o termo
usamos o ansatz , pois e são combinadas por derivação. Como não são raízes da característica (temos raízes e ), não há ressonância aqui.
Somando as duas partes, propomos o ansatz
(Aqui troquei
por
para não confundir com
.)
Passo 4
Calcular
e
. Derivamos termo a termo com calma e explicando cada passo:
Para o polinômio :
Para o polinômio
Para os trigonométricos
:
Portanto, somando as partes,
Passo 5
Formar
e simplificar agrupando termos polinomiais e trigonométricos:
Agora vou rearranjar e juntar termos semelhantes. Primeiro os termos polinomiais (em
e constantes):
Agora os termos em
e
:
Somando tudo:
Passo 6
Igualar
à parte direita
e igualar coeficientes de termos independentes:
Queremos
Queremos
Comparando coeficientes termo a termo:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Passo 7
Resolver o sistema para
. Primeiro do polinomial:
Então
Agora os trigonométricos. Da última equação
temos
. Substituindo em
:
Logo
.
Passo 8
Escrever a solução particular encontrada e comentar rapidamente. Com os coeficientes calculados,
Esse
é uma função que, ao substituir na equação
, produz exatamente
, portanto é uma solução particular válida.
Passo 9
Montar a solução geral da equação completa somando a homogênea e a particular:
onde
são constantes arbitrárias.
Resposta
(a)
(b)
(c)