(vale 2,0 \mathrm{pts} ) \square Considere o campo de forças dado por
\vec{F}(x, y)=(y,-x), \quad(x, y) \in \mathbb{R}^{2} .
Calcule o trabalho W realizado por \vec{F} para mover uma partícula de ( 1,0 ) a ( 0,-1 ) ao longo do arco do círculo x^{2}+y^{2}=1 de ( 1,0 ) até ( 0,-1 ) orientado no sentido horário.

Passo 1

O enunciado fornece o campo de forças
\vec F(x,y)=(y,-x)
e pede o trabalho
\displaystyle W=\int_C\vec F\cdot d\vec r
ao longo do arco do círculo x^2+y^2=1 que leva de (1,0) a (0,-1) no sentido horário. Para resolver, vamos parametrizar esse arco e calcular a integral de linha.

Passo 2

Como o movimento é horário, podemos usar a parametrização
\vec r(t)=(\cos t,\,-\sin t), \quad 0\le t\le \frac\pi2,
pois \vec r(0)=(1,0) e \vec r(\tfrac\pi2)=(0,-1).

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização e o campo ao longo da curva:
\vec r\,'(t)=(-\sin t,\,-\cos t), \qquad \vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)=(-\sin t,\,-\cos t).

Passo 4

O produto escalar é
\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) =(-\sin t)(-\sin t)+(-\cos t)(-\cos t) =\sin^2t+\cos^2t =1.

Passo 5

Portanto, o trabalho é
W=\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{\pi/2}1\,dt =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle W=\frac{\pi}{2}

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