Em cada item, calcule os pontos críticos da função dada, e em seguida use o Teste da Derivada Primeira ou Segunda para classificar este ponto crítico em ponto de mínimo local, máximo local, ou nem de mínimo e nem de máximo.
(d) f(x)=13 cdot x^3-4 x

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache os pontos críticos de f(x)=tfrac13x^3-4x e use o Teste da Derivada Primeira ou Segunda para ver se cada ponto é mínimo local, máximo local ou nenhum dos dois. O conteúdo aqui é derivadas de funções polinomiais e o Teste da Derivada Segunda.

Passo 2

Para encontrar pontos críticos, primeiro calculamos a derivada primeira de f. Como f(x)=tfrac13x^3-4x, temos:
f'(x)=ddxl(tfrac13x^3r)-ddx(4x)=x^2-4

Passo 3

Em seguida, achamos onde f'(x)=0 (e onde ela não existe, se houvesse). Resolvendo
x^2-4=0
vem
x=pm2
Esses são os pontos críticos. Agora usamos o Teste da Derivada Segunda. Calculamos
f''(x)=ddx(x^2-4)=2x

Passo 4

Para x=-2:
f''(-2)=2cdot(-2)=-4<0
Quando f''<0, o ponto é de máximo local. Para x=2:
f''(2)=2cdot2=4>0
Quando f''>0, o ponto é de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são x=-2 (máximo local) e x=2 (mínimo local).

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