(valior 4,0 ponton) Considere a função
definida por:
A funçio
& diferenciável em ( 0,0 ) ? Justifique sua resposta:
Passo 1
Temos uma função de duas variáveis definida a pedaços e queremos saber se ela é diferenciável em (0,0). O conteúdo a usar é a definição de diferenciabilidade em ℝ², que envolve as derivadas parciais em (0,0) e o teste do limite do erro de aproximação linear.
Passo 2
Vamos reescrever claramente a função:
Para testar diferenciabilidade, primeiro calculamos as derivadas parciais em (0,0) pelo limite.
Passo 3
A derivada parcial em x é
Similarmente, em y:
Logo, a aproximação linear em (0,0) é L(x,y)=0.
Passo 4
Pela definição, f é diferenciável em (0,0) se
Aqui L(x,y)=0, então testamos
Passo 5
Usando coordenadas polares: x=r\cosθ e y=r\sinθ,
Esse valor depende de θ e não tende a 0 quando r→0, pois pode assumir constantes não nulas (por exemplo θ=π/4). Portanto a condição de diferenciabilidade falha.
Passo 6
Como o limite do erro de aproximação não é zero de forma uniforme, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
A função não é diferenciável em (0,0).