(valior 4,0 ponton) Considere a função f definida por:
A funçio f(x, y)=l x^1 y^2x^2+y^2, sen(x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0) & diferenciável em ( 0,0 ) ? Justifique sua resposta:

Passo 1

Temos uma função de duas variáveis definida a pedaços e queremos saber se ela é diferenciável em (0,0). O conteúdo a usar é a definição de diferenciabilidade em ℝ², que envolve as derivadas parciais em (0,0) e o teste do limite do erro de aproximação linear.

Passo 2

Vamos reescrever claramente a função:
f(x,y)= dfracx,y^2x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0)
Para testar diferenciabilidade, primeiro calculamos as derivadas parciais em (0,0) pelo limite.

Passo 3

A derivada parcial em x é
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0
Similarmente, em y:
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h=limhto00-0h=0
Logo, a aproximação linear em (0,0) é L(x,y)=0.

Passo 4

Pela definição, f é diferenciável em (0,0) se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2=0
Aqui L(x,y)=0, então testamos
f(x,y)raizx^2+y^2=tfracx,y^2x^2+y^2raizx^2+y^2=x,y^2(x^2+y^2)^3/2

Passo 5

Usando coordenadas polares: x=r\cosθ e y=r\sinθ,
|f(r,θ)|r=r^3|cosθsin^2θ|r^3=|cosθsin^2θ|
Esse valor depende de θ e não tende a 0 quando r→0, pois pode assumir constantes não nulas (por exemplo θ=π/4). Portanto a condição de diferenciabilidade falha.

Passo 6

Como o limite do erro de aproximação não é zero de forma uniforme, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0).

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