[Valor: 4,0] Calcular as seguintes integrais:
\int x^{5} \sqrt{1+x^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida)
\int x^{5} \sqrt{1+x^{2}}\,dx.
Informações dadas que vamos usar: o integrando é um produto de uma potência de x e uma raiz quadrada de 1+x^{2}. Não há limites — queremos a antiderivada geral (com constante de integração).

Passo 2

Escolha do método (justificativa): quando aparece \sqrt{1+x^{2}} é natural fazer a substituição
u=1+x^{2},
porque a derivada de 1+x^{2} é 2x, o que permite transformar um fator x\,dx em du. Além disso x^{5} pode ser reescrito como x^{4}\cdot x=(x^{2})^{2}\cdot x, e assim podemos expressar x^{2} em função de u. Então a substituição vai simplificar a raiz e transformar tudo em potências de u.

Passo 3

Aplicando a substituição u=1+x^{2}. Temos
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Também escrevo x^{5}=(x^{2})^{2}\cdot x. Como x^{2}=u-1, obtemos
x^{5}\,dx = (x^{2})^{2}\cdot x\,dx = (u-1)^{2}\cdot\frac{1}{2}\,du.
A raiz fica \sqrt{1+x^{2}}=\sqrt{u}=u^{1/2}. Portanto a integral vira
\int x^{5}\sqrt{1+x^{2}}\,dx = \int (u-1)^{2}\cdot u^{1/2}\cdot\frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Desenvolvendo o integrando em potências de u:
(u-1)^{2}\cdot u^{1/2} = (u^{2}-2u+1)\,u^{1/2} = u^{2}\,u^{1/2}-2u\,u^{1/2}+1\cdot u^{1/2}.
Simplificando as potências (somando expoentes):
u^{2}\,u^{1/2}=u^{5/2},\qquad u\,u^{1/2}=u^{3/2},\qquad u^{1/2}=u^{1/2}.
Logo a integral é
\int x^{5}\sqrt{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int\bigl(u^{5/2}-2u^{3/2}+u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 5

Regra que vamos usar para integrar potências: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando termo a termo:
\int u^{5/2}\,du = \frac{u^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}u^{7/2},
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2},
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.

Passo 6

Voltando à integral com o fator \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\int\bigl(u^{5/2}-2u^{3/2}+u^{1/2}\bigr)\,du = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{7}u^{7/2}-2\cdot\frac{2}{5}u^{5/2}+\frac{2}{3}u^{3/2}\right)+C.
Agora simplifico cada coeficiente:
\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{7}=\frac{1}{7},\qquad \frac{1}{2}\cdot\left(-2\cdot\frac{2}{5}\right)=-\frac{2}{5},\qquad \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.
Então a primitiva em u é
\frac{1}{7}u^{7/2}-\frac{2}{5}u^{5/2}+\frac{1}{3}u^{3/2}+C.

Passo 7

Volto à variável original usando u=1+x^{2}. Substituindo:
\int x^{5}\sqrt{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{7}(1+x^{2})^{7/2}-\frac{2}{5}(1+x^{2})^{5/2}+\frac{1}{3}(1+x^{2})^{3/2}+C.
Opcionalmente poderíamos fatorar (1+x^{2})^{3/2}, mas a forma acima já é uma antiderivada correta e clara.

Resposta

\frac{1}{7}(1+x^{2})^{7/2}-\frac{2}{5}(1+x^{2})^{5/2}+\frac{1}{3}(1+x^{2})^{3/2}+C

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