[Valor: 4,0] Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas que vamos usar: o integrando é um produto de uma potência de
e uma raiz quadrada de
. Não há limites — queremos a antiderivada geral (com constante de integração).
Passo 2
Escolha do método (justificativa): quando aparece
é natural fazer a substituição
porque a derivada de
é
, o que permite transformar um fator
em
. Além disso
pode ser reescrito como
, e assim podemos expressar
em função de
. Então a substituição vai simplificar a raiz e transformar tudo em potências de
.
Passo 3
Aplicando a substituição
. Temos
Também escrevo
. Como
, obtemos
A raiz fica
. Portanto a integral vira
Passo 4
Desenvolvendo o integrando em potências de
:
Simplificando as potências (somando expoentes):
Logo a integral é
Passo 5
Regra que vamos usar para integrar potências: para
,
Aplicando termo a termo:
Passo 6
Voltando à integral com o fator
:
Agora simplifico cada coeficiente:
Então a primitiva em
é
Passo 7
Volto à variável original usando
. Substituindo:
Opcionalmente poderíamos fatorar
, mas a forma acima já é uma antiderivada correta e clara.